3 Los enteros positivos $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$ satisfacen las siguientes condiciones. $a_1 = 5, a_2 = 25$ $a_{n + 2} = 7a_{n+1}-a_n-6$ para cada $n = 1, 2, \dots, 2021$ Demuestre que existen enteros $x, y$ tales que $a_{2023} = x^2 + y^2.$

4 $2023$ jugadores participaron en un torneo de tenis, y cualesquiera dos jugadores jugaron exactamente un partido. No hubo empates en ningún partido, y ningún jugador venció a todos los demás jugadores. Si un jugador $A$ satisface la siguiente condición, llamemos a $A$ "jugador hábil". (Condición) Para cada jugador $B$ que venció a $A$ , existe un jugador $C$ que venció a $B$ y perdió contra $A$ . Resultó que hay exactamente $N(\geq 0)$ jugadores hábiles. Halle el valor mínimo de $N$ .

5 Para un entero positivo $n(\geq 5)$ , hay $n$ piedras blancas y $n$ piedras negras (en total $2n$ piedras) alineadas en una fila. Las primeras $n$ piedras desde la izquierda son blancas, y las siguientes $n$ piedras son negras. $$\underbrace{\Circle \Circle \cdots \Circle}_n \underbrace{\CIRCLE \CIRCLE \cdots \CIRCLE}_n $$ Se pueden intercambiar las piedras repitiendo la siguiente operación. (Operación) Elija un entero positivo $k (\leq 2n - 5)$ , e intercambie la piedra $k$ -ésima y la piedra $(k+5)$ -ésima desde la izquierda. Halle todos los enteros positivos $n$ tales que podemos lograr que las primeras $n$ piedras sean negras y las siguientes $n$ piedras sean blancas en un número finito de operaciones.

6 Halle el valor máximo del número real $A$ tal que $$3x^2 + y^2 + 1 \geq A(x^2 + xy + x)$$ para todos los enteros positivos $x, y.$

8 $f$ es una función del conjunto de los enteros positivos al conjunto de todos los enteros que satisface lo siguiente. $\cdot$ $f(1)=1, f(2)=-1$ $\cdot$ $f(n)+f(n+1)+f(n+2)=f(\left\lfloor\frac{n+2}{3}\right\rfloor)$ Halle el número de enteros positivos $k$ que no exceden $1000$ tales que $f(3)+f(6)+\cdots+f(3k-3)+f(3k)=5$ .

7 Halle el menor entero positivo $N$ tal que no existen conjuntos distintos $A, B$ que satisfagan las siguientes condiciones. (Aquí, $N$ no es una potencia de $2$ . Es decir, $N \neq 1, 2^1, 2^2, \dots$ . ) $A, B \subseteq \{1, 2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{2023}\} \cup \{ N \}$ $|A| = |B| \geq 1$ La suma de los elementos de $A$ y la suma de los elementos de $B$ son iguales.

8 Un triángulo equilátero rojo $T$ de lado $1$ se dibuja en un plano. Para un real positivo $c$ , colocamos tres papeles azules con forma de triángulo equilátero de lado $c$ sobre el plano para cubrir completamente a $T$ . Halle el valor mínimo de $c$ . Como se muestra en la figura, no importa si los papeles azules se superponen entre sí o sobresalen de $T$ . No está permitido doblar ni rasgar el papel.

3 Halle todos los pares de números primos $p,\,q(p\le q)$ que satisfacen la siguiente condición: Existe un número natural $n$ tal que $2^{n}+3^{n}+\cdots+(2pq-1)^{n}$ es un múltiplo de $2pq$ .

2 Para un entero positivo $n \ge 3$ , halle el número de sucesiones ordenadas $(a_1, a_2, ... , a_n)$ de enteros que satisfacen las dos condiciones siguientes Para todo entero positivo $i$ tal que $1\le i \le n$ , $1 \le a_i \le i$ Para todos los enteros positivos $i,j,k$ tales que $1\le i < j < k \le n$ , si $a_i = a_j$ entonces $a_j \ge a_k$

3 Para un número primo impar dado $p$ , defina $f(n)$ como el resto de dividir $d$ entre $p$ , donde $d$ es el mayor divisor de $n$ que no es múltiplo de $p$ . Por ejemplo, cuando $p=5$ , $f(6)=1, f(35)=2, f(75)=3$ . Defina la sucesión de enteros $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ de la siguiente manera: $a_1=1$ $a_{n+1}=a_n+(-1)^{f(n)+1}$ para todos los enteros positivos $n$ . Determine todos los enteros $m$ tales que existen infinitos enteros positivos $k$ con $m=a_k$ .