8 En un país hay ${}N{}$ ciudades y $N(N-1)$ carreteras de un solo sentido: una carretera de $X{}$ a $Y{}$ por cada par ordenado de ciudades $X \neq Y$ . Cada carretera tiene un costo de mantenimiento. Para cada $k = 1,\ldots, N$ consideremos todas las maneras de seleccionar $k{}$ ciudades y $N - k{}$ carreteras de modo que desde cada ciudad sea posible llegar a alguna ciudad seleccionada, usando solo las carreteras seleccionadas. Llamamos a tal sistema de ciudades y carreteras con el menor costo total de mantenimiento $k{}$ -óptimo . Demuestre que las ciudades pueden numerarse del $1{}$ al $N{}$ de modo que para cada $k = 1,\ldots, N$ exista un sistema $k{}$ -óptimo de carreteras con las ciudades seleccionadas numeradas $1,\ldots, k$ . Propuesto por V. Buslov

5 En el triángulo $ABC$ , los puntos arbitrarios $P,Q$ están sobre el lado $BC$ tales que $BP=CQ$ y $P$ está entre $B,Q$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ interseca los lados $AB,AC$ en $E,F$ respectivamente.El punto $T$ es la intersección de $EP,FQ$ . Dos rectas que pasan por el punto medio de $BC$ y son paralelas a $AB$ y $AC$ , intersecan a $EP$ y $FQ$ en los puntos $X,Y$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $TXY$ y el triángulo $APQ$ son tangentes entre sí. Propuesto por Iman Maghsoudi

4 Hemos construido un rombo uniendo dos triángulos equiláteros iguales. Al colocar $n-1$ puntos en los 3 lados de cada triángulo hemos dividido los lados en $n$ segmentos iguales. Al trazar segmentos de recta entre los puntos correspondientes de cada lado de los triángulos hemos dividido el rombo en $2n^2$ triángulos iguales. Escribimos los números $1,2,\dots,2n^2$ en estos triángulos de modo que ningún número aparezca dos veces. En el segmento común de cada dos triángulos escribimos la diferencia positiva de los números escritos en esos triángulos. Halle la suma máxima de todos los números escritos en los segmentos. (25 puntos) Propuesto por Amirali Moinfar

1 Un $n$ - palo es una figura conexa formada por $n$ cerillas de longitud $1$ colocadas horizontal o verticalmente, de modo que no haya dos que se toquen en puntos distintos de sus extremos. Dos figuras que pueden transformarse una en la otra mediante traslaciones, rotaciones o reflexiones se consideran iguales. Un $n$ - mino es una figura construida uniendo $n$ cuadrados de lado 1 por sus lados, de modo que exista un camino sobre los cuadrados entre cualesquiera dos cuadrados del $n$ - mino. Sea $S_n$ el número de $n$ - palos y $M_n$ el número de $n$ - minos; por ejemplo, $S_3=5$ y $M_3=2$. (a) Demuestre que para todo $n$ natural se cumple $S_n \geq M_{n+1}$. (b) Demuestre que para $n$ suficientemente grande se tiene $(2.4)^n \leq S_n \leq (16)^n$. Un segmento de retícula es un segmento del plano de longitud 1 cuyos dos extremos son puntos enteros. Un polipalo se llama sabio si, usando él y sus rotaciones o reflexiones, podemos cubrir todos los segmentos de retícula sin superposiciones; en caso contrario se llama no sabio. (c) Demuestre que existen al menos $2^{n-6}$ $n$ - palos no sabios distintos. (d) Demuestre que todo polipalo que tenga la forma de un camino que solo avanza hacia arriba y hacia la derecha es sabio. (e) Puntos extra: Demuestre que para $n$ suficientemente grande se tiene $3^n \leq S_n \leq 12^n$. El tiempo permitido para este examen fue de 2 horas.

Sea un triángulo $ABC$ . Sean los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB, AC$ , respectivamente, de modo que $AP=AQ$ , y $PQ$ pasa por el incentro $I$ . Sea $(BPI)$ que corta a $(CQI)$ en $M$ , $PM$ corta a $BI$ en $D$ y $QM$ corta a $CI$ en $E$ . Demuestre que la recta $MI$ pasa por el punto medio de $DE$ .

Inicialmente, los números $i^3-i$ para $i=2,3 \ldots 2n+1$ están escritos en un pizarrón, donde $n\geq 2$ es un entero positivo. En un movimiento podemos borrar tres números $a, b, c$ y escribir el número $\frac{abc} {ab+bc+ca}$ . Demuestre que cuando quedan dos números en el pizarrón, su suma será mayor que $16$ .

2 Este es un problema realmente fácil para el nivel Junior :p $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac=6$ , con a,b,c>0. Halle el máximo de {a+b+c}

2 Sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ Sea $\lambda \geq 1$ un número real y sea $n$ un entero positivo con la propiedad de que $\lfloor \lambda^{n+1}\rfloor, \lfloor \lambda^{n+2}\rfloor ,\cdots, \lfloor \lambda^{4n}\rfloor$ son todos cuadrados perfectos $.$ Demuestre que $\lfloor \lambda \rfloor$ es un cuadrado perfecto $.$

4 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$ hasta $AB$ . La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ , respectivamente. Sean $E$ y $F$ los reflejos de $C$ respecto de las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$ , respectivamente. Sean $K$ y $L$ los reflejos de $D$ respecto de las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1EI$ , $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto común.

3 Un matemático que investiga métodos para hallar el área de un cuadrilátero convexo obtiene las siguientes fórmulas para el área $A$ de un cuadrilátero de lados consecutivos $a,b,c,d$ : $A =\frac{a+c}{2}\frac{b+d}{2}$ (1) y $A = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ (2), donde $p = (a+b+c+d)/2$ . Sin embargo, estas fórmulas no son válidas para todos los cuadriláteros convexos. Demuestre que (1) se cumple si y solo si el cuadrilátero es un rectángulo, mientras que (2) se cumple si y solo si el cuadrilátero es cíclico.