2014 g2.2 Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ , inscrito en una circunferencia de centro $O$ . Sea $P$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$ . Una circunferencia que pasa por $O$ y $P$ interseca a los segmentos $BC$ y $AD$ en los puntos interiores $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestre que $BF=DG$ .

Para un entero \( k\geq 1 \), llamamos a un conjunto \(\mathcal{S}\) de \( n\geq k \) puntos en un plano \( k \)-triangular si no hay tres de ellos colineales y siempre que se eliminen a lo sumo \( k \) puntos (posiblemente cero) de \(\mathcal{S}\), la cápsula convexa del conjunto resultante es un triángulo no degenerado. Para un entero positivo \( k \) dado, encuentra todos los enteros \( n\geq k \) tales que existe un conjunto \( k \)-triangular formado por \( n \) puntos. Nota. Se define que un conjunto de puntos en un plano euclidiano es convexo si contiene los segmentos de recta que conectan cada par de sus puntos. La cápsula convexa de una figura es el conjunto convexo más pequeño que la contiene.

3 Un juego es jugado por $n$ niñas ( $n \geq 2$ ) , teniendo cada una una pelota. Cada uno de los $\binom{n}{2}$ pares de jugadoras, en un orden arbitrario, intercambia las pelotas que tienen en ese momento. El juego se llama agradable si al final nadie tiene su propia pelota y se llama tedioso si al final cada una tiene su pelota inicial. Determine los valores de $n$ para los cuales existe un juego agradable y aquellos para los cuales existe un juego tedioso.

6 Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos paralelas y no hay tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general divide el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; llamamos a estas sus regiones finitas . Demuestre que para todo $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de $n$ rectas en posición general es posible colorear de azul al menos $\sqrt{n}$ rectas de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga una frontera completamente azul. Nota : Los resultados con $\sqrt{n}$ reemplazado por $c\sqrt{n}$ recibirán puntos dependiendo del valor de la constante $c$ .

2011.3.3 Sobre los lados $AB$, $BC$ y $CA$ de un triángulo $ABC$, se dan puntos $M$, $N$ y $P$ sucesivamente de modo que el cuadrilátero $CPMN$ es un paralelogramo. Las rectas $AN$ y $MP$ se cortan en $R$, las rectas $BP$ y $MN$ en $S$, y las rectas $AN$ y $BP$ en $Q$. Sea $T$ la proyección del punto $Q$ sobre el lado $AB$. Demuestra que el triángulo $NQP$ y el cuadrilátero $TSQR$ tienen áreas iguales.

3 Sea s un número real positivo. Considere un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional. Un punto reticular se define como un punto cuyas coordenadas en este sistema son ambas enteras. En cada punto reticular de nuestro sistema de coordenadas hay una lámpara. Inicialmente, solo la lámpara en el origen del sistema de coordenadas cartesiano está encendida; todas las demás lámparas están apagadas. Cada minuto, encendemos además toda lámpara L para la cual existe otra lámpara M tal que - la lámpara M ya está encendida, y - la distancia entre las lámparas L y M es igual a s. Demuestre que cada lámpara se encenderá después de algún tiempo ... (a) ... si s = 13. [Este era el problema para el curso 11.] (b) ... si s = 2005. [Este era el problema para los cursos 12/13.] (c) ... si s es un entero de la forma $s=p_1p_2...p_k$ si $p_1$ , $p_2$ , ..., $p_k$ son primos diferentes que son todos $\equiv 1\mod 4$ . [Esta es mi extensión del problema, que generaliza ambas partes (a) y (b) .] (d) ... si s es un entero cuyos factores primos son todos $\equiv 1\mod 4$ . [Esta es la extensión de ZetaX del problema, y es más fuerte que (c) .] Darij darij

4 No soy un spammer, al menos, así es como acostumbro pensar sobre mí mismo, y por lo tanto no abriré un nuevo hilo para el siguiente problema del examen DeMO de hoy: Sea Q(n) la suma de los dígitos de un entero positivo n. Demuestre que $Q\left(Q\left(Q\left(2005^{2005}\right)\right)\right)=7$ . [ EDIT: Como esta publicación se dividió en un nuevo hilo, comento: El problema es completamente análogo al problema publicado en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=31409 , con la única diferencia de que hay que considerar el número $2005^{2005}$ en lugar de $4444^{4444}$ . ] Darij darij

4 Inicialmente, Aslı distribuye $1000$ bolas en $30$ cajas como desee. Después, Aslı y Zehra realizan movimientos alternados que consisten en tomar una bola de cualquier caja, comenzando con Aslı. Quien toma la última bola de una caja se queda con esa caja. ¿Cuál es el número máximo de cajas que Aslı puede garantizar para sí misma independientemente de los movimientos de Zehra?

2013 g1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $E$ un punto en la prolongación del lado $AD$ . Suponga que $AB = BC = CD$ , $\angle BAD = 5x$ , $\angle BCD= 6x$ , y $\angle CDE = 7x$ . Halle la medida de $x$ .

2 Sean $a$ , $b$ dos números reales distintos y sea $c$ un número real positivo tal que $a^4 - 2019a = b^4 - 2019b = c$ . Demuestre que $- \sqrt{c} < ab < 0$ .