Sea $n \geq 3$ un entero. En cada celda de un tablero de $n \times n$ , escriba un 0 o un 1 de modo que la suma de los números de todo sub-tablero de $2 \times 2$ y de todo sub-tablero de $3 \times 3$ sea par. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto? Propuesto por Jonathan Farfán

Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $$\gcd(n,1) + \gcd(n,2) + \cdots + \gcd(n,n) = 3n - 3.$$ Nota: la notación $\gcd(a,b)$ denota el máximo común divisor de $a$ y $b$ . Propuesto por Sergio Vera

$a)$ Demuestre que el número $2012$ no puede expresarse como la suma de los cubos de tres enteros. $b)$ Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a^2 - 4b$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que el número $3ab$ puede expresarse como la suma de los cubos de tres enteros.

4 Determine todos los números de tres cifras N tales que $N^2$ tenga seis cifras y tales que la suma del número formado por las tres primeras cifras de $N^2$ y el número formado por las tres últimas cifras de $N^2$ sea igual a $N$ .

Sea $\mathcal{C}$ un conjunto de $n$ circunferencias en el plano, y sea $\mathcal{X}$ el conjunto de todas las rectas del plano que son tangentes a al menos dos circunferencias de $\mathcal{C}$ . Se sabe que existe un polígono regular de 2012 lados tal que cada uno de sus lados está sobre alguna recta de $\mathcal{X}$ . Determine el menor valor de $n$ para el cual esta situación es posible.

Determine todos los enteros positivos $a$ para los cuales existen enteros no negativos $m,n,k$ tales que, al escribir la representación decimal de $a^n$ a la izquierda de la representación decimal de $a^m$ (sin espacio), se obtiene la representación decimal de $a^k$ . Ejemplo: si escribimos la representación decimal de $6^2$ a la izquierda de la representación decimal de $6^3$ , obtenemos $36216$ . Propuesto por V. Senderov (Rusia)

Un entero positivo se llama digital si es igual al producto de los dígitos de algún entero positivo. Por ejemplo, $28$ es digital porque es igual al producto de los dígitos del número $147$ . Sean $n_1, n_2, \dots, n_k$ números digitales diferentes. Demuestre que $$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \cdots + \frac{1}{n_k} < \frac{35}{8}.$$ Propuesto por Jorge Tipe

Sean $a$ y $b$ números reales positivos. Determine, en función de $a$ y $b$ , el menor número real $r$ tal que se cumple la siguiente propiedad: es posible cubrir un rectángulo con lados de longitudes $a$ y $b$ usando dos discos circulares de radio $r$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que $BC$ y $AD$ no son paralelas. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero. Los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $E$ . Una circunferencia con centro $I$ inscrita en el triángulo $EBC$ es tangente al lado $BC$ en $T_1$ . La excircunferencia relativa a $AD$ del triángulo $EAD$ , con centro $J$ , es tangente a $AD$ en $T_2$ . Las rectas $IT_1$ y $JT_2$ se intersecan en $Q$ . Demuestre que $O$ , $P$ y $Q$ son colineales.

Un entero positivo $n$ se llama representable si existen enteros positivos $a > b > c$ tales que $n = a + b + c$ y, además, $a$ es múltiplo de $b$ y $b$ es múltiplo de $c$ . Demuestre que el conjunto de los enteros positivos que no son representables es finito y determine el mayor elemento de ese conjunto.