3 El punto $O$ es el centro del círculo circunscrito del triángulo acutángulo $ABC$ , y $H$ es el punto de intersección de las alturas de este triángulo. Sean $A_1, B_1, C_1$ los puntos diametralmente opuestos a los vértices $A, B , C$ respectivamente del triángulo, y $A_2, B_2, C_2$ los puntos medios de los segmentos $[AH], [BH] ¸[CH]$ respectivamente . Demuestre que las rectas $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ son concurrentes .

3 Halle todas las raíces reales del sistema de ecuaciones: $$ \begin{cases} x^3+y^3=19 \\ x^2+y^2+5x+5y+xy=12 \end{cases} $$

A1 Halle el menor valor positivo de $ 1*2*3*4*...*2020*2021*2022$ donde puede reemplazar $*$ por $+$ o $-$

4 Sea $S$ un conjunto formado por $m$ pares $(a,b)$ de enteros positivos con la propiedad de que $1 \leq a < b \leq n$. Demuestra que hay al menos \[ 4m \cdot \dfrac{(m - \dfrac{n^2}{4})}{3n} \] tripletas $(a,b,c)$ tales que $(a,b)$, $(a,c)$ y $(b,c)$ pertenecen a $S$.

6. En un planeta hay $M$ países y $N$ ciudades. Entre algunas de las ciudades hay carreteras de doble sentido. Se sabe que: (1) En cada país hay al menos tres ciudades; (2) Para cada país y cada ciudad del país, esta está conectada por carreteras con al menos la mitad de las demás ciudades del país; (3) Cada ciudad está conectada con exactamente una otra ciudad que no está en su país; (4) Hay a lo sumo dos carreteras entre ciudades de dos países distintos; (5) Si dos países contienen en total menos de $2M$ ciudades, entonces hay una carretera entre ellos. Demuestra que existe un ciclo de longitud al menos $M+\frac{N}{2}$.

3 Sea $ M $ el punto de intersección de los segmentos $ AL $ y $ CK $ , donde los puntos $ K $ y $ L $ están respectivamente en los lados $ AB $ y $ BC $ del triángulo $ ABC $ de modo que los cuadriláteros $ AKLC $ y $ KBLM $ son cíclicos. Halle el ángulo $ \angle ABC $ si los radios de las circunferencias circunscritas a esos cuadriláteros cíclicos son iguales.

3 Sean $A_1,A_2,\ldots,A_n$ subconjuntos de un conjunto finito $S$ tales que $|A_j|=8$ para cada $j$ . Para un subconjunto $B$ de $S$ sea $F(B)=\{j \mid 1\le j\le n \ \ \text{and} \ A_j \subset B\}$ . Suponga que para cada subconjunto $B$ de $S$ se cumple al menos una de las siguientes condiciones (a) $|B| > 25$ , (b) $F(B)={\O}$ , (c) $\bigcap_{j\in F(B)} A_j \neq {\O}$ . Demuestre que $A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \neq {\O}$ .

2 Sea $\tau(n)$ el número de divisores positivos del entero positivo $n$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que la ecuación $ \tau(an)=n $ no tiene solución entera positiva $n$ .

3 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a clubes distintos). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a sociedades distintas). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ( $m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Halle todos los valores posibles de $k$ . Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

8 El profesor escribió un número natural distinto de cero en la pizarra. El profesor explicó a los estudiantes que pueden borrar el número escrito en la pizarra y escribir en su lugar un número natural nuevo, cuando quieran, aplicando cada vez una de las siguientes reglas: 1) En lugar del número actual $n$ escribir $3n + 13$ 2) En lugar del número actual $n$ escribir el número $\sqrt{n}$ , si $n$ es un cuadrado perfecto . a) Si el número $256$ fue escrito originalmente en la pizarra, ¿es posible obtener el número $55$ en la pizarra después de un número finito de pasos? b) Si el número $55$ fue escrito originalmente en la pizarra, ¿es posible obtener el número $256$ en la pizarra después de un número finito de pasos?