Sean $g_a$ , $g_b$ y $g_c$ las medianas de un triángulo $\triangle ABC$ trazadas desde los vértices $A$ , $B$ y $C$ , respectivamente. Análogamente, sean $g_x$ , $g_y$ y $g_z$ las medianas de otro triángulo $\triangle XYZ$ . Demuestre que si $$g_a : g_b : g_c = g_x : g_y : g_z, $$ entonces los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle XYZ$ son semejantes.

Para una sucesión de enteros $a_1 < a_2 < \cdot\cdot\cdot < a_n$ , se dice que un par $(a_i,a_j)$ con $1 \leq i < j \leq n$ está balanceado si el número $\frac{a_i+a_j}{2}$ pertenece a la sucesión. Para todo número natural $n \geq 3$ , halle el número máximo posible de pares balanceados en una sucesión con $n$ números.

Sea $ABC$ un triángulo dado. Sean $A_1$ y $A_2$ puntos sobre el lado $BC$ . Sean $B_1$ y $B_2$ puntos sobre el lado $CA$ . Sean $C_1$ y $C_2$ puntos sobre el lado $AB$ . Suponga que los puntos $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1$ y $C_2$ están sobre una circunferencia. Demuestre que las rectas $AA_1, BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes si y solo si $AA_2, BB_2$ y $CC_2$ son concurrentes.

Halle todos los números naturales $n$ tales que $2^{n-1} + 3^{n-1}$ es divisible por $n^2 - 2$ .

Halle todos los pares de números naturales $(m,n)$ tales que el número $5^m+6^n$ tiene todos sus dígitos iguales cuando se escribe en representación decimal.

12 jugadores participaron en un torneo de ajedrez. Jugaron algunos juegos de ajedrez entre sí. Se sabe que cada 2 jugadores han jugado más de un juego entre ellos. También se sabe que ninguno de ellos ha jugado con todos los demás jugadores. ¿Cuál es el mayor número posible de juegos jugados en el torneo?

En un tablero están escritos dos números: el primero tiene como dígito de las unidades 2, y el segundo tiene como dígito de las unidades 3. Ana escribe en el tablero el doble del primer número y el doble del segundo número. Demuestre que la suma de los cuatro números del tablero es divisible por 15.

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $a>b$ y $ab = 3b - 1$ . Demuestre que $$a^2 + \frac{1}{b^2} < 7 .$$

Los números $1, 2, 3,\ldots, 20$ se colocan en cualquier orden en un círculo. Un número se considera $high$ si es mayor que los dos números cercanos a él. ¿Cuál es el mayor número posible de números $high$?

En un tablero de dimensiones $8 \times 8$ , algunas casillas unitarias están coloreadas de negro. Se sabe que cada dos casillas coloreadas de negro no son vecinas. ¿Cuál es el mayor número de casillas unitarias que se pueden colorear de negro? $Note.$ Dos casillas unitarias se consideran vecinas si comparten un lado o un vértice.