En la siguiente figura se dan los triángulos isósceles $ABF$ y $BEC$ y el cuadrado $ABCD$ . Demuestre que los puntos $D$ , $F$ y $E$ son colineales (están en una misma recta).

2 Demuestre que para cualesquiera números reales positivos $a$ y $b$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a(a+1)}{b+1}+\frac{b(b+1)}{a+1}\geq a+b.$$

Sea $p$ un número primo impar. Demuestre que para todo $p$ de este tipo, sin importar cómo dividamos el conjunto $$ \mathbb{A} = \{1^{p^2-p}, 2^{p^2-p},..., (p-1)^{p^2-p}, p^2-p+1\}, $$ en dos conjuntos disjuntos, las medias aritméticas de los elementos de los dos subconjuntos no pueden ser iguales.

Los números $1,2,3,...,23$ están escritos en un tablero. Ana y Ben juegan el siguiente juego: en cada movimiento, el jugador al que le toca jugar elige uno de los números restantes tal que al menos un número consecutivo al número elegido todavía esté en el tablero. Un jugador pierde el juego si ya no puede elegir un número. Si Ana comienza el juego, ¿qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle BCD+\angle DEA = 180^{\circ}$ y $AD=BD$ . Demuestre que los circuncentros de los triángulos $\triangle DEA$ , $\triangle DAB$ , $\triangle DBC$ y el punto $D$ están sobre una circunferencia.

Se da el conjunto $\mathbb{S}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ . Ben elige aleatoriamente algunos números (al menos dos) del conjunto y los multiplica. ¿Cuáles son las probabilidades de que el producto de estos números sea divisible por 3?

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $a^2+b^2 \geq 2$ . Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad: $$ \frac {a}{b+1}+\frac{b}{a+1} \geq \frac {2}{a+b} .$$

1 Ana tiene $22$ monedas. Puede tomar de sus amigos $6$ monedas o $18$ monedas, o puede dar $12$ monedas a sus amigos. Puede hacer estas operaciones tantas veces como quiera. Halle el menor número de monedas que Ana puede tener.

1 Ana tiene una balanza que muestra qué lado pesa más o si ambos lados son iguales. Tiene $4$ pesas que se ven iguales pero pesan $1001g, 1002g, 1004g$ y $1005g$ , respectivamente. ¿Es posible que Ana averigüe el peso de cada una de ellas con solo $4$ mediciones?

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $CA=CB$ y $\angle ACB=20^{\circ}$ . Sea $D$ un punto sobre el lado $CA$ tal que $\angle ADB=30^{\circ}$ . Demuestre que $AB=CD$ .