1 Una sucesión $ (S_n), n \geq 1$ de conjuntos de números naturales con $ S_1 = \{1\}, S_2 = \{2\}$ y \[{ S_{n + 1} = \{k \in }\mathbb{N}|k - 1 \in S_n \text{ XOR } k \in S_{n - 1}\}. \] Determine $ S_{1024}.$

2 Para tres puntos $ X,Y,Z$ sea $ R_{XYZ}$ el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ XYZ.$ Si $ ABC$ es un triángulo con centro de la circunferencia inscrita $ I$ entonces se tiene: \[ \frac{1}{R_{ABI}} + \frac{1}{R_{BCI}} + \frac{1}{R_{CAI}} \leq \frac{1}{\bar{AI}} + \frac{1}{\bar{BI}} + \frac{1}{\bar{CI}}.\]

3 Los puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ se eligen sobre los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ intersecan de nuevo la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ , respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ) . Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son semejantes.

3 Sean $a,b$ enteros positivos y sea $p=\frac{b}{4}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$ un número primo. Halle el valor máximo de $p$ y justifique su respuesta.

1 La sucesión de números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ está definida recursivamente por \[a_0=-1,\qquad\sum_{k=0}^n\dfrac{a_{n-k}}{k+1}=0\quad\text{for}\quad n\geq 1.\] Demuestre que $ a_{n} > 0$ para todo $ n\geq 1$ . Propuesto por Mariusz Skalba, Polonia

3 Un punto $ P$ en el interior del triángulo $ ABC$ satisface \[ \angle BPC - \angle BAC = \angle CPA - \angle CBA = \angle APB - \angle ACB.\] Demuestre que \[ \bar{PA} \cdot \bar{BC} = \bar{PB} \cdot \bar{AC} = \bar{PC} \cdot \bar{AB}.\]

2 Sea $ ABCD$ un trapecio con lados paralelos $ AB > CD$ . Los puntos $ K$ y $ L$ están sobre los segmentos $ AB$ y $ CD$ , respectivamente, de modo que $AK/KB=DL/LC$ . Suponga que hay puntos $ P$ y $ Q$ sobre el segmento $ KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{and}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $ P$ , $ Q$ , $ B$ y $ C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

2 Sean $ n, k \in \mathbb{N}$ con $ 1 \leq k \leq \frac {n}{2} - 1.$ Hay $ n$ puntos dados sobre una circunferencia. Elegimos arbitrariamente $ nk + 1$ cuerdas entre los puntos de la circunferencia. Demuestre que entre estas cuerdas hay al menos $ k + 1$ cuerdas que por pares no tienen ningún punto en común.

1 Una sucesión de números reales $ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ está definida por la fórmula \[ a_{i + 1} = \left\lfloor a_{i}\right\rfloor\cdot \left\langle a_{i}\right\rangle\qquad\text{for}\quad i\geq 0; \] aquí $a_0$ es un número real arbitrario, $\lfloor a_i\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $a_i$ , y $\left\langle a_i\right\rangle=a_i-\lfloor a_i\rfloor$ . Demuestre que $a_i=a_{i+2}$ para $i$ suficientemente grande. Propuesto por Harmel Nestra, Estonia

3 Sean $ a > b > 1$ enteros positivos coprimos. Defina el peso de un entero $ c$ , denotado por $ w(c)$ , como el valor mínimo posible de $ |x| + |y|$ sobre todos los pares de enteros $ x$ y $ y$ tales que \[ax + by = c.\] Un entero $ c$ se llama campeón local si $ w(c) \geq w(c \pm a)$ y $ w(c) \geq w(c \pm b)$ . Halle todos los campeones locales y determine su número. Propuesto por Zoran Sunic, EE. UU.