1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb Q\longrightarrow\mathbb Q$ tales que: $ f(x)+f(\frac1x)=1$ $ 2f(f(x))=f(2x)$ Omid

2 Definimos una relación entre subconjuntos de $\mathbb R ^n$ . $A \sim B\Longleftrightarrow$ podemos particionar $A,B$ en conjuntos $A_1,\dots,A_n$ y $B_1,\dots,B_n$ (es decir, $\displaystyle A=\bigcup_{i=1} ^n A_i,\ B=\bigcup_{i=1} ^n B_i, A_i\cap A_j=\emptyset,\ B_i\cap B_j=\emptyset$ ) y $A_i\simeq B_i$ . Diga si los siguientes conjuntos tienen la relación $\sim$ o no: a) Los números naturales y los números compuestos. b) Los números racionales y los números racionales con finitos dígitos en base 10. c) $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 2\}$ y $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 3\}$ d) $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2+y^2<1\}$ y $A\setminus \{(0,0)\}$ Omid

3 Sea $n(r)$ el número máximo posible de puntos de coordenadas enteras sobre un círculo de radio $r$ en el plano cartesiano. Demuestre que $n(r) < 6\sqrt[3]{3 \pi r^2}.$ Amir

1 Un avión quiere ir desde un punto del ecuador y, en cada momento, se dirigirá hacia el noreste con velocidad $v$ . Suponga que el radio de la Tierra es $R$ . a) ¿Llegará el avión al polo norte? Si es así, ¿cuánto tiempo tardará en llegar al polo norte? b) ¿Girará el avión un número finito de veces alrededor del polo norte? Si es así, ¿cuántas veces? Omid

1 Una sucesión de números naturales $c_1, c_2,\dots$ se llama perfecta si todo número natural $m$ con $1\le m \le c_1 +\dots+ c_n$ puede representarse como $m =\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+\dots+\frac{c_n}{a_n}$. Dado $n$, halle el máximo valor posible de $c_n$ en una sucesión perfecta $(c_i)$. Amir.S

3 Suponga que $f : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ es una función que satisface $f(1) = 1$ y $f(n + 1) =\{\begin{array}{cc} f(n)+2&\mbox{if}\ n=f(f(n)-n+1),\\f(n)+1& \mbox{Otherwise}\end {array}$. $(a)$ Demuestre que $f(f(n)-n+1)$ es o bien $n$ o bien $n+1$ . $(b)$ Determine $f$ . Amir.S

2 Diremos que dos circunferencias en el espacio tridimensional son tangentes entre sí en un punto $ P$ si ambas pasan por $ P$ y las rectas tangentes a cada circunferencia en $ P$ coinciden. Tres circunferencias, no todas contenidas en un plano, son tangentes entre sí por pares en tres puntos distintos. Demuestre que existe una esfera que pasa por las tres circunferencias. sam-n

2 Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos arbitrarios y sean $f: A\longrightarrow B$ y $g: B\longrightarrow A$ funciones tales que $g$ no es sobreyectiva. Demuestre que existe un subconjunto $S$ de $A$ tal que $\frac{A}{S}=g(\frac{B}{f(S)})$ . Amir.S

1 Dos círculos se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ . Una recta $\ell$ que pasa por el punto $A$ corta a los dos círculos nuevamente en los puntos $C$ y $D$ , respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ (que no contienen al punto $A$ ) en los respectivos círculos. Sea $K$ el punto medio del segmento $CD$ . Demuestre que $\measuredangle MKN = 90^{\circ}$ .

1 En un torneo de tenis en el que participan $ n$ jugadores $ A_1,A_2,\dots,A_n$ , dos jugadores cualesquiera juegan a lo sumo un partido, y se juegan $ k \leq \frac {n(n - 1)}{2}$ $ 2$ partidos. El ganador de un partido obtiene $ 1$ punto mientras que el perdedor obtiene $ 0$ . Demuestre que una sucesión $ d_1,d_2,\dots,d_n$ de enteros no negativos puede ser la sucesión de puntuaciones de los jugadores (siendo $ d_i$ la puntuación de $ A_i$ ) si y solo si $ (i)\ \ d_1 + d_2 + \dots + d_n = k$ , y $ (ii)\ \text{for any} X\subset\{A_1,\dots,A_n\}$ , el número de partidos entre los jugadores de $ X$ es a lo sumo $ \sum_{A_j\in X}d_j$ Amir.S