1 Una recta que pasa por un vértice de un triángulo no degenerado lo divide en dos triángulos semejantes con $\sqrt{3}$ como razón entre los lados correspondientes. Halle los ángulos del triángulo dado. Jorge

2013.3.2 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sean $E$ y $F$ puntos sobre los lados $AB$ y $BC$ tales que $|AE| = |CF|$. Sea $G$ la imagen especular de $E$ respecto a $A$. Las rectas $AF$ y $EC$ se intersecan en $M$, y las rectas $AF$ y $GC$ se intersecan en $N$. Demuestra que $\angle NDM = 90^o$.

2 Sean $x_1,\cdots, x_n$ vectores no nulos de un espacio vectorial $V$ y sea $\varphi:V\to V$ una transformación lineal tal que $\varphi x_1 = x_1$ , $\varphi x_k = x_k - x_{k-1}$ para $k = 2, 3,\ldots,n$ . Demuestre que los vectores $x_1,\ldots,x_n$ son linealmente independientes. Jorge

3 Sean $a, b, c, d, e \in \mathbb{R}^+$ y sea $f:\{(x, y) \in (\mathbb{R}^+)^2|c-dx-ey > 0\}\to \mathbb{R}^+$ dada por $f(x, y) = (ax)(by)(c- dx- ey)$ . Halle el valor máximo de $f$ . Jorge

4 Dados dos enteros positivos $m,n$ , decimos que una función $f : [0,m] \to \mathbb{R}$ es $(m,n)$ - resbaladiza si tiene las siguientes propiedades: i) $f$ es continua; ii) $f(0) = 0$ , $f(m) = n$ ; iii) Si $t_1, t_2\in [0,m]$ con $t_1 < t_2$ son tales que $t_2-t_1\in \mathbb{Z}$ y $f(t_2)-f(t_1)\in\mathbb{Z}$ , entonces $t_2-t_1 \in \{0,m\}$ . Halle todos los valores posibles de $m, n$ tales que exista una función $f$ que sea $(m,n)$ - resbaladiza. Jorge

5 Sean $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}^*$ los conjuntos de los números naturales y de los enteros positivos, respectivamente. Definimos una relación binaria sobre $\mathbb{N}$ mediante $a\acute{\in}b$ si y solo si el $a$ - ésimo bit de la representación binaria de $b$ es $1$ . Definimos una relación binaria sobre $\mathbb{N}^*$ mediante $a\tilde{\in}b$ si y solo si $b$ es múltiplo del $a$ - ésimo número primo $p_a$ . i) Demuestre que no existe una biyección $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}^*$ tal que $a\acute{\in}b\Leftrightarrow f(a)\tilde{\in}f(b)$ . ii) Demuestre que existe una biyección $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}^*$ tal que $(a\acute{\in}b \vee b\acute{\in}a)\Leftrightarrow (g(a)\tilde{\in}g(b) \vee g(b)\tilde{\in}g(a))$ . Jorge

7 Sea $G$ un grupo tal que todo subgrupo de $G$ es subnormal. Suponga que existe un subgrupo normal $N$ de $G$ tal que $Z(N)$ es no trivial y $G/N$ es cíclico. Demuestre que $Z(G)$ es no trivial. ( $Z(G)$ denota el centro de $G$ ) . Nota : Un subgrupo $H$ de $G$ es subnormal si existen subgrupos $H_1,H_2,\ldots,H_m=G$ de $G$ tales que $H\lhd H_1\lhd H_2 \lhd \ldots \lhd H_m= G$ ( $\lhd$ denota subgrupo normal). Jorge

1 Sea $n$ un entero positivo que no es divisible ni por $2$ ni por $5$ . En el desarrollo decimal de $\frac{1}{n}= 0.a_1a_2a_3\cdots$ se eligen arbitrariamente un número finito de cifras después del punto decimal para ser eliminadas. Claramente, el número decimal obtenido mediante este procedimiento también es racional, por lo que es igual a $\frac{a}{b}$ para algunos enteros $a,b$ . Demuestre que $b$ es divisible por $n$ . Jorge

2 Demuestre que para cada número natural $n$ existe un polinomio $f$ con coeficientes reales y grado $n$ tal que $ p(x)=f(x^2-1)$ es divisible por $f(x)$ en el anillo $\mathbb{R}[x]$ . Jorge

3 Demuestre que $x+\frac{1}{x^x}<2$ para $0<x<1$ . Jorge