4 Considere un rectángulo de lados $2a$ y $2b$ , donde $a > b$ . Deben recortarse cuatro triángulos rectángulos congruentes (un triángulo en cada vértice de este rectángulo, cuyos catetos se encuentran sobre los lados del rectángulo) de modo que la figura restante forme un octágono con lados de igual longitud. El lado del octágono debe expresarse en términos de a y $b$ y debe construirse a partir de $a$ y $b$ . Además, debe indicarse bajo qué condiciones puede resolverse el problema.

5 Se da un cuadrado de lado $a$ . Un segmento $PQ$ de longitud $p$ , donde $p < a$ , se mueve de modo que sus extremos están siempre sobre los lados del cuadrado. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $PQ$?

6 Considere una pirámide $ABCD$ cuya base $ABC$ es un triángulo. Por un punto $M$ de la arista $DA$ se trazan las rectas $MN$ y $MP$ en los planos de las caras $DAB$ y $DAC$ , respectivamente, de modo que $N$ está sobre $DB$ y $P$ está sobre $DC$ , y $ABNM$ , $ACPM$ son cuadriláteros cíclicos. a) Demuestre que $BCPN$ es también un cuadrilátero cíclico. b) Demuestre que los puntos $A,B,C,M,N, P$ se encuentran sobre una esfera.

1 En 27.000 ensayos de fertilización con abonos fosforados se obtuvieron los siguientes rendimientos medios de cosecha de patatas: $$Fertilizer \,\, application \,\,based \,\,on \,\,P2O5 (dt/ha) \ '\ crop \,\, yield \,\, (dt/ha)$$ $$0.0 \ \ 237$$ $$0.3 \ \ 251$$ $$0.9 \ \ 269$$ La relación entre la dosis de fertilizante $x$ (en dt/ha) y el rendimiento de cosecha $y$ (en dt/ha) puede aproximarse mediante la siguiente relación: $$y = a - b \cdot 10^{-kx}$$ donde $a, b$ y $k$ son constantes. a) ¡Calcule estas constantes usando los valores dados arriba! b) ¡Calcule el rendimiento de cosecha para una dosis de fertilizante de $0.6$ dt/ha y de $1.2$ dt/ha! c) Establezca la desviación porcentual de los valores calculados respecto de los valores determinados experimentalmente, $261$ dt/ha y $275$ dt/ha.

2 Sean $u, v$ y $ w$ números positivos cualesquiera menores que $1$ . Demuestre que entre los números $u(1 -v)$ , $v(1 -w)$ , $w(1 - u)$ hay siempre al menos un valor no mayor que $\frac14$ .

4 Se da un cuadrilátero plano convexo. Demuestre que para el cociente $q$ entre la mayor y la menor de todas las distancias entre dos vértices cualesquiera se cumple: $q \ge \sqrt2$ . Redacción original (alemán): Sea un cuadrilátero plano convexo. Debe demostrarse que para el cociente q entre la mayor y la menor de todas las distancias entre dos vértices cualesquiera se cumple siempre: q >= \sqrt2.

5 Se dan un plano $P$ y dos puntos fijos $A$ y $B$ que no se encuentran en este plano. Denótense dos puntos $A'$ y $B'$ sobre el plano $P$ y $M ,N$ los puntos medios de los segmentos $AA'$ , $BB'$ . a) Determine el lugar geométrico del punto medio del segmento MN si los puntos $A'$ y $B'$ se mueven arbitrariamente en el plano $P$ . b) Se considera una circunferencia $O$ en el plano $P$ . Determine el lugar geométrico $L$ del punto medio del segmento $MN$ si los puntos $A'$ y $B'$ se encuentran sobre la circunferencia $O$ o en su interior. c) Se supone que $A'$ está fijo sobre la circunferencia $O$ o en su interior, y que $B'$ puede moverse en su interior, salvo sobre $O$ . Determine el lugar geométrico del punto $B'$ para que el lugar geométrico $L$ mencionado permanezca igual. Nota: Para b) y c) deben considerarse los casos siguientes: 1. $A'$ y $B'$ son distintos; 2. $A'$ y $B'$ coinciden.

1 Sean $n,k$ enteros positivos tales que $n\ge k$ . $n$ lámparas están colocadas sobre una circunferencia, todas apagadas. En cada paso podemos cambiar el estado de $k$ lámparas consecutivas. En los tres casos siguientes, ¿cuántos estados de las lámparas hay entre todos los $2^n$ estados posibles que pueden obtenerse a partir del estado inicial mediante una cierta serie de operaciones? i) $k$ es un número primo mayor que $2$ ; ii) $k$ es impar; iii) $k$ es par.

2 $ABC$ es un triángulo en el plano. Halle el lugar geométrico de los puntos $P$ para los cuales $PA,PB,PC$ forman un triángulo cuya área es igual a un tercio del área del triángulo $ABC$ .

3 Halle todos los pares de enteros $(x,y)$ tales que \[ y^3=8x^6+2x^3y-y^2.\]