6 En una olimpiada de matemáticas se propusieron ocho problemas a 30 participantes. Para tener en cuenta la dificultad de cada problema, el jurado decidió asignar pesos a los problemas de la siguiente manera: un problema vale $n$ puntos si no fue resuelto por exactamente $n$ participantes. Por ejemplo, si un problema fue resuelto por todos los participantes, entonces no vale puntos. (Se supone que no hay puntuaciones parciales para un problema.) Iván obtuvo menos puntos que cualquier otro participante. Halle la mayor puntuación que puede tener.

7 Se da un cubo $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . Halle el lugar geométrico de los puntos $E$ de la cara $A_1B_1C_1D_1$ para los cuales existe una recta que corta a las rectas $AB$ , $A_1D_1$ , $B_1D$ y $EC$ .

8 Tom Sawyer debe encalar una valla circular formada por $N$ tablones. Encalaba la valla avanzando en sentido horario y siguiendo la regla: encala el primer tablón, salta dos tablones, encala uno, salta tres, y así sucesivamente. Algunos tablones pueden encalarse varias veces. Tom cree que tarde o temprano todos los tablones quedarán encalados, pero la tía Polly está segura de que algunos tablones permanecerán sin encalar para siempre. Demuestre que Tom tiene razón si $N$ es una potencia de dos; en caso contrario, tiene razón la tía Polly.

1 Se da una tabla cuadrada de $n \times n$ ( $n \ge 3$ ) con uno de los siguientes vectores unitarios $\uparrow, \downarrow, \leftarrow, \rightarrow$ en cada una de sus celdas (los vectores son paralelos a los lados y sus puntos medios coinciden con los centros de las celdas). En cada movimiento, un escarabajo se arrastra de una celda a otra de acuerdo con la dirección del vector. Si el escarabajo parte de cualquier celda, vuelve a esta celda después de cierto número de movimientos. Los vectores están orientados de modo que no permiten que el escarabajo salga de la tabla. ¿Es posible que la suma de todos los vectores de cualquier fila (excepto la primera y la última) sea igual al vector paralelo a esta fila, y que la suma de todos los vectores de cualquier columna (excepto la primera y la última) sea igual al vector paralelo a esta columna? (D. Dudko)

2 Sea $P(x) =(x+1)^p (x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. a) Dado que $a_1=a_2$ , demuestre que $3n$ es un cuadrado perfecto. b) Demuestre que existen infinitos pares $(p, q)$ de enteros positivos p y q tales que la igualdad $a_1=a_2$ es válida para el polinomio $P(x)$ . (D. Bazylev)

3 Se dice que dos triángulos son gemelos si uno de ellos es una imagen del otro bajo una proyección paralela. Demuestre que dos triángulos son gemelos si y solo si al menos un lado de uno de ellos es igual a un lado del otro, o ambos triángulos tienen segmentos iguales que unen los vértices correspondientes con algunos puntos de los lados opuestos que dividen estos lados en la misma razón. (E. Barabanov)

4 Sean $a_1,a_2,...,a_n, b_1, b_2,...,b_n$ números positivos que satisfacen la condición $a_1+a_2+...+a_n=b_1+ b_2+...+b_n=1$ . Halle el menor valor posible de la suma $$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}$$ (V.Kolbun)

5 Sean $m,n,k$ enteros positivos, $m> n> k$ . Una tira de papel de $1 \times m$ está dividida en celdas de $1 \times 1$ . Un profesor pide a Bill y a Pit que coloquen los números $0$ y $1$ en las celdas de la tira de modo que la suma de los números de cualesquiera $n$ celdas consecutivas sea igual a $k$ . Tras realizar la tarea, resultó que la suma $S(B)$ de todos los números en la tira de Bill era distinta de la suma $S(P)$ de Pit. Halle el mayor valor posible de $|S(B) - S(P) |$ . (I. Voronovich)

6 a) Un entero positivo se llama bonito si puede representarse como media aritmética de algunos enteros positivos (no necesariamente distintos) cada uno de los cuales es una potencia no negativa de $2$ . Demuestre que todos los enteros positivos son bonitos. b) Un entero positivo se llama feo si no puede representarse como media aritmética de algunos enteros positivos dos a dos distintos, cada uno de los cuales es una potencia no negativa de $2$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos feos. (A. Romanenko, D. Zmeikov)

7 ¿Existe una función sobreyectiva $f:R \to R$ tal que la expresión $f(x + y) - f(x) - f(y)$ tome exactamente dos valores, $0$ y $1$ , para distintos reales $x$ e $y$ ? (E. Barabanov)