3 Alice la arquitecta y Bob el constructor juegan un juego. Primero, Alice elige dos puntos $P$ y $Q$ en el plano y un subconjunto $\mathcal{S}$ del plano, que son anunciados a Bob. Luego, Bob marca infinitos puntos en el plano, designando a cada uno como una ciudad. No puede colocar dos ciudades a distancia a lo sumo una unidad entre sí, y no puede colocar tres ciudades colineales. Finalmente, se construyen carreteras entre las ciudades como sigue: para cada par $A,\,B$ de ciudades, se conectan con una carretera a lo largo del segmento de recta $AB$ si y solo si se cumple la siguiente condición: Para toda ciudad $C$ distinta de $A$ y $B$ , existe $R\in\mathcal{S}$ tal que $\triangle PQR$ es directamente semejante a $\triangle ABC$ o a $\triangle BAC$ . Alice gana el juego si (i) las carreteras resultantes permiten viajar entre cualquier par de ciudades mediante una sucesión finita de carreteras y (ii) no hay dos carreteras que se crucen. De lo contrario, gana Bob. Determine, con demostración, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Nota: $\triangle UVW$ es directamente semejante a $\triangle XYZ$ si existe una sucesión de rotaciones, traslaciones y homotecias que envían $U$ a $X$ , $V$ a $Y$ y $W$ a $Z$ . KevinYang2.71

10 Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números naturales tal que cada número primo mayor que $1402$ divide a algún miembro de esa sucesión. Demuestre que el conjunto de los divisores primos de los miembros de la sucesión $\{b_n\}$ , donde $b_n=a_1a_2...a_n-1$ , es infinito. Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

2 En un país con $n$ ciudades, todos los vuelos directos son de doble sentido (ida y vuelta). Hay $r>2014$ rutas entre distintos pares de ciudades, que incluyen a lo sumo una escala intermedia (la dirección de cada ruta importa). Halle el mínimo valor posible de $n$ y el mínimo $r$ posible para ese valor de $n$ .

1 Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que los incentros de los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ son los vértices de un rectángulo.

2 Sean $ a_1$ , $ a_2$ , ..., $ a_n$ y $ b_1$ , $ b_2$ , ..., $ b_n$ $ 2 \cdot n$ números reales. Demuestre que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: i) Para cualesquiera $ n$ números reales $ x_1$ , $ x_2$ , ..., $ x_n$ que satisfacen $ x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_ n$ , se tiene $ \sum^{n}_{k = 1} a_k \cdot x_k \leq \sum^{n}_{k = 1} b_k \cdot x_k,$ ii) Se tiene $ \sum^{s}_{k = 1} a_k \leq \sum^{s}_{k = 1} b_k$ para todo $ s\in\left\{1,2,...,n-1\right\}$ y $ \sum^{n}_{k = 1} a_k = \sum^{n}_{k = 1} b_k$ .

1 Se dan tres circunferencias $ K_{1}$ , $ K_{2}$ y $ K_{3}$ tangentes exteriormente entre sí dos a dos. Denote por $ P_{1}$ el punto de tangencia de $ K_{2}$ y $ K_{3}$ y por $ P_{2}$ el punto de tangencia de $ K_{1}$ y $ K_{3}$ . Sea $ AB$ ( $ A$ y $ B$ son distintos de los puntos de tangencia) un diámetro de la circunferencia $ K_{3}$ . La recta $ AP_{2}$ interseca a la circunferencia $ K_{1}$ (por segunda vez) en el punto $ X$ y la recta $ BP_{1}$ interseca a la circunferencia $ K_{2}$ (por segunda vez) en $ Y$ . Si $ Z$ es el punto de intersección de las rectas $ AP_{1}$ y $ BP_{2}$ , demuestre que los puntos $ X$ , $ Y$ y $ Z$ son colineales.

3 Para todo primo $p$, demuestre que existe un entero $x_0$ tal que $p | (x^2_0 - x_0 + 3)$ $\Leftrightarrow$ existe un entero $y_0$ tal que $p | (y^2_0 - y_0 + 25).$

$ ABC$$ BC > AC > AB$$ A',B',C'$$ A,B,C$$ BC,AC,AB$$ AA' = BB' = CC' = x$$ ABC\sim A'B'C'$$ x = 2r$$ A',B'$$ C'$$ x = R + d$$ x = R - d$$ R$$ r$$ d = OI$

3 Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ , $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , y $Q$ el punto de $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$ . Sea $E$ el punto medio de $DQ$ . Demuestre que las rectas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ , respectivamente, se cortan sobre $AD$ .

2 Sean $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$, $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ tales que $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} < 1$ y $a + c \leq n,$; halle el valor máximo de $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ para el valor fijo $n.$