3 Si $n$ es un número natural, demuestre que el número $(n+1)(n+2)\cdots(n+10)$ no es un cuadrado perfecto.

1 Resuelva la siguiente ecuación en el conjunto de los enteros $x_{1}^4 + x_{2}^4 +...+ x_{14}^4=2016^3 - 1$ .

3 Defina una coloración en el plano de la siguiente manera: - elegimos un entero positivo $m$ ; - sean $K_{1}$ , $K_{2}$ , ..., $K_{m}$ circunferencias distintas con radios no nulos tales que $K_{i}\subset K_{j}$ o $K_{j}\subset K_{i}$ si $i \neq j$ ; - los puntos del plano que se encuentran fuera de una circunferencia arbitraria (una que esté entre las circunferencias que elegimos) se colorean de manera diferente a los puntos que se encuentran dentro de la circunferencia. Hay $2019$ puntos en el plano tales que cualesquiera $3$ de ellos no son colineales. Determine el número máximo de colores que podemos usar para colorear los puntos dados.

4 Sean $a$ , $b$ , y $c$ números reales que satisfacen las ecuaciones $(a+b)(b+c)(c+a)=abc$ y $(a^9+b^9)(b^9+c^9)(c^9+a^9)=(abc)^9$ . Demuestre que al menos uno de $a$ , $b$ , y $c$ es igual a $0$ .

1 Determine todos los números primos de la forma $1 + 2^p + 3^p +...+ p^p$ donde $p$ es un número primo.

5 Sean $p_{1}$ , $p_{2}$ , ..., $p_{k}$ números primos distintos. Determine el número de enteros positivos de la forma $p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}...p_{k}^{\alpha_{k}}$ , $\alpha_{i}$ $\in$ $\mathbb{N}$ para los cuales $\alpha_{1} \alpha_{2}...\alpha_{k}=p_{1}p_{2}...p_{k}$ .

7 Demuestre que $a=2$ es el mayor número real para el cual la desigualdad: $$ \frac{x_1}{x_n+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+\dots+\frac{x_n}{x_{n-1}+x_1} \ge a $$ se cumple para cualquier $n \ge 4$ y cualesquiera números reales positivos $x_1, x_2,\dots,x_n$ .

5 Resuelva la siguiente ecuación en el conjunto de los enteros positivos $x + y^2 + (GCD(x, y))^2 = xy \cdot GCD(x, y)$ .

4 Sea $p$ un número primo. Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $p+n$ divide a $pn$

Lazim lanza dos dados de $24$ caras. De los dos lanzamientos, Lazim selecciona el dado con el número más alto. $N$ es un entero no mayor que $24$ . ¿Cuál es el mayor valor posible de $N$ tal que hay una probabilidad de más del $50$ % de que el dado que selecciona Lazim sea mayor o igual que $N$ ?