Para cada $n \in \mathbb{N}$ , sea $D(n)$ el conjunto de todos los divisores positivos de $n$ . Determine el menor $k$ (en función de $n$ ) para el cual existen números naturales $$1 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_k \leq n$$ tales que $$D(x_1) \cup D(x_2) \cup \cdots \cup D(x_k) = \{1, 2, \ldots, n\}.$$

Dado un triángulo $ABC$ , sean $P$ y $Q$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ , y sea $X$ el pie de la altura trazada desde $Q$ a la recta $PM$ . Demuestre que $\angle AXQ = \angle QXC$ .

Halle todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos tales que un tablero de $m \times n$ puede ser embaldosado, sin superposiciones ni huecos, usando fichas de la siguiente forma: https://i.postimg.cc/r0n0szhR/1.png

Tenemos un tablero de $9 \times 9$ formado por 81 cuadrados unitarios. Considere los 100 puntos que son los vértices de esos cuadrados. Si coloreamos de rojo $k$ de esos vértices, ¿cuál es el mayor valor que puede tomar $k$ tal que no haya dos puntos rojos cuya distancia sea de la forma $m\sqrt{2}$ , donde $m$ es un entero positivo?

En un concurso que consta de dos exámenes participan $N$ personas. Después de la calificación, se elaboran tres listas de la siguiente manera: $\bullet$ La lista 1 contiene las puntuaciones del primer examen. $\bullet$ La lista 2 contiene las puntuaciones del segundo examen. $\bullet$ La lista 3 contiene las sumas de las puntuaciones que cada concursante obtuvo en ambos exámenes. Los números de las tres listas son todos distintos y, en cada lista, los números están ordenados de mayor a menor. Se dice que un concursante está \textit{clasificado} si su puntuación está en la mitad superior de la lista 1 o en la mitad superior de la lista 2, y también en el tercio superior de la lista 3. ¿Cuál es el menor número posible de concursantes clasificados? Nota: la mitad superior incluye las $\left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor$ puntuaciones más altas. El tercio superior incluye las $\left\lfloor \frac{N}{3} \right\rfloor$ puntuaciones más altas.

Halle todos los números primos $p \geq 3$ tales que el número $1 + k(p - 1)$ sea primo para todo entero positivo $k \leq \frac{p - 1}{2}$ .

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ tales que la igualdad $$f(x+yf(x+y)) +xf(x)= f(xf(x+y+1))+y^2$$ se cumple para cualesquiera números reales $x,y$ .

Diremos que un subconjunto $A$ del conjunto de los enteros no negativos es $cool$ si existe un entero $k$ tal que para todo entero $n\geq k$ existe exactamente un par de enteros $a>b$ de $A$ tal que $n=a+b$. Decide si existe un conjunto $cool$.

Para cada entero positivo $n$ , sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos distintos no divisibles por $10$ . $a)$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que $S(c \cdot a) \neq S(c \cdot b)$ . $b)$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que $S(c \cdot a) > S(c \cdot b)$ .

1 Considere un triángulo $\triangle ABC$ y un punto $X$ sobre $BC$ . La perpendicular desde $X$ a $AB$ corta a la circunferencia circunscrita de $\triangle AXC$ en $P$ , y la perpendicular desde $X$ a $AC$ corta a la circunferencia circunscrita de $\triangle AXB$ en $Q$ . Demuestre que la recta $PQ$ no depende de la elección de $X$ . (Shining Sun, USA)