3 $a,b,c>0$ $a+b+c=3$ Demuestre la desigualdad $$\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1$$ .

4 En un $n$ -gono regular ( $n\geqslant4$ ) , cada diagonal se colorea con uno de dos colores. Luego, para cada par de diagonales que se intersecan del mismo color, se elimina una de estas diagonales. ¿Cuál es el número máximo posible de diagonales que pueden quedar después de estas operaciones? (Las diagonales que comparten un extremo común no se consideran que se intersecan.)

6 Halle todos los enteros $a,b,c,k$ donde $k>0$ tales que $$a^2+b^2+c^2=3k(ab+bc+ca)$$

6 ¿Existen números primos $p,q,r$ tales que $$\frac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$$ es un entero ?

3 El conjunto Φ consta de un número finito de puntos en el plano. La distancia entre cualesquiera dos puntos de Φ es al menos $\sqrt{2}$ . Se sabe que un triángulo regular de lado $3$ recortado de papel puede cubrir todos los puntos de Φ. ¿Cuál es el mayor número de puntos que puede tener Φ?

5 En el círculo $ \omega $ , el diámetro $ AB $ y la cuerda $ CD $ son perpendiculares. Sea $ M $ cualquier punto del segmento $ AC $ . El punto $ P $ es la base de la perpendicular desde el punto $ C $ a la recta $ BM $ . Sea el círculo $ \omega_1 $ circunscrito alrededor del triángulo $ MPD $ que interseca por segunda vez a la circunferencia circunscrita del triángulo $ CPB $ en el punto $ Q $ (los puntos $ P $ y $ Q $ están en lados opuestos de la recta $ AB $ ) . La recta $ CD $ interseca de nuevo a $ \omega_1 $ en el punto $ N $ . Demuestre que $ \angle CQN = \angle BPN $ .

2 Sobre una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios (con lado de longitud $1cm$ ) , se marcan $2019$ puntos en los puntos de la cuadrícula (intersecciones de la cuadrícula) de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos marcados es un número natural de centímetros. Demuestre que más de $333333$ de estas distancias son números naturales divisibles por $3$ .

6 La recta tangente $l$ a la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ interseca a las rectas $AB, BC$ y $CA$ en los puntos $C', A'$ y $B'$ , respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ . Sobre las rectas A'H, B′H y C'H, respectivamente, se marcan los puntos $A_1, B_1$ y $C_1$ (distintos de $H$ ) tales que $AH = AA_1, BH = BB_1$ y $CH = CC_1$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ son tangentes.

1 Dado un paralelogramo $ABCD$ . Un cierto círculo pasa por los puntos $A$ y $B$ e interseca por segunda vez a los segmentos $BD$ y $AC$ en los puntos $X$ y $Y$ , y la circunferencia circunscrita del triángulo $ADX$ cruza por segunda vez al segmento $AC$ en el punto $Z$ . Demuestre que los segmentos $AY$ y $CZ$ son iguales.

2 Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que $\frac{(a+b+c)(c+a-b)}{(a+b-c)(b+c-a)}\geqslant\frac{9(3a-5b+3c)}{3a+5b-3c}$ .