2 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Demuestre la desigualdad: $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$$

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . La recta $AI$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A$ y $D$ , $(A \neq D)$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente al lado $BC$ en el punto $E$ . La recta $DE$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $D$ y $F$ , $(D \neq F)$ . Demuestre que $\angle AFI = 90^{\circ}$

4 En una competencia había $67$ estudiantes. Resolvieron $6$ problemas. El estudiante que resuelve correctamente el $k$-ésimo problema obtiene $k$ puntos, mientras que el estudiante que resuelve incorrectamente el $k$-ésimo problema obtiene $-k$ puntos. $a)$ Demuestre que existen dos estudiantes con exactamente las mismas respuestas a los problemas $b)$ Demuestre que existen al menos $4$ estudiantes con el mismo número de puntos

1 Para los números reales $x$ , $y$ y $z$ , resuelva el sistema de ecuaciones: $$x^3+y^3=3y+3z+4$$ $$y^3+z^3=3z+3x+4$$ $$x^3+z^3=3x+3y+4$$

3 Sea $F$ el punto de intersección de la altura $CD$ y la bisectriz interior del ángulo $AE$ del triángulo rectángulo $ABC$ , $\angle ACB = 90^{\circ}$ . Sea $G$ el punto de intersección de las rectas $ED$ y $BF$ . Demuestre que el área del cuadrilátero $CEFG$ es igual al área del triángulo $BDG$

2 Para el entero positivo $n$ , halle todos los pares de enteros coprimos $p$ y $q$ tales que $p+q^2=(n^2+1)p^2+q$

3 Sean $O$ e $I$ el circuncentro y el incentro del triángulo $ABC$ . Sea la circunferencia inscrita de $ABC$ tangente a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. Las rectas $FD$ y $CA$ se intersecan en el punto $P$ , y las rectas $DE$ y $AB$ se intersecan en el punto $Q$ . Además, sean $M$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ . Demuestre que $OI \perp MN$

4 Se da el conjunto $A=\{1,2,3,...,2n-1\}$ . Del conjunto $A$ se expulsan al menos $n-1$ números de modo que: $a)$ si el número $a \in A$ es expulsado, y si $2a \in A$ entonces $2a$ debe ser expulsado $b)$ si $a,b \in A$ son expulsados, y $a+b \in A$ entonces $a+b$ también debe ser expulsado ¿Qué números deben ser expulsados para que la suma de los números que permanecen en el conjunto sea mínima?

1 Halle todos los valores posibles de $$\frac{(a+b-c)^2}{(a-c)(b-c)}+\frac{(b+c-a)^2}{(b-a)(c-a)}+\frac{(c+a-b)^2}{(c-b)(a-b)}$$

2 Resuelva la ecuación, donde $x$ e $y$ son enteros positivos: $$ x^3-y^3=999$$