2012 g8.6 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < BC$ , y sean $E$ y $F$ puntos en $AC$ y $AB$ tales que $BF = BC = CE$ , ambos en el mismo semiplano que $A$ con respecto a $BC$ . Sea $G$ la intersección de $BE$ y $CF$ . Sea $H$ un punto en la paralela que pasa por $G$ a $AC$ tal que $HG = AF$ (con $H$ y $C$ en semiplanos opuestos con respecto a $BG$ ) . Muestre que $\angle EHG = \frac{\angle BAC}{2}$ .

4 Inicialmente en el pizarrón están escritos todos los enteros del $1$ al $2002$ inclusive, en una línea y en algún orden, sin repeticiones. En cada paso, se borran el primer y el segundo número de la línea y se escribe al comienzo de la línea el valor absoluto de la resta de los dos números que se acaban de borrar; los demás números no se modifican en ese paso, y se tiene una nueva línea que tiene un número menos que en el paso anterior. Después de completar $2001$ pasos, queda solo un número en el pizarrón. Determine todos los valores posibles del número que queda en el pizarrón al variar el orden de los $2002$ números de la línea inicial (y realizar los $2001$ pasos).

11 El cúmulo estelar JMO inicialmente consta de cinco estrellas $O,A,B,C,D$. A cada estrella se le asigna un valor llamado su "importancia". La importancia de $O$ es $0$, y la importancia de cada una de $A,B,C,D$ es $1$. Hay vuelos directos de un solo sentido como sigue: de $O$ a $A$ y $C$; de $A$ a $B$ y $D$; de $B$ a $O$; de $C$ a $B$ y $D$; de $D$ a $O$. No hay otros vuelos directos. Para evitar el deterioro, se realiza repetidamente la siguiente operación: $1.$ Se eliminan todos los vuelos directos existentes, y se destruyen todas las estrellas. $2.$ Para cada vuelo directo eliminado $f$, se crea una nueva estrella $S_f$. Su importancia se define como la suma de las importancias de la estrella de salida y la estrella de llegada de $f$. $3.$ Para cada par ordenado $(f,f')$ de vuelos directos eliminados tal que la estrella de llegada de $f$ coincide con la estrella de salida de $f'$, se establece un vuelo directo de un solo sentido desde $S_f$ a $S_{f'}$. Encuentra la importancia total de las estrellas creadas en la operación número $100$.

1 Halle el menor entero positivo que no pueda representarse como ${2^a-2^b\over 2^c-2^d}$ , donde $a,\,b,\,c,\,d$ son enteros positivos.

4 Cien personas de 50 países, dos de cada país, están sentadas en un círculo. Demuestre que se las puede repartir en 2 grupos de tal manera que ni dos compatriotas, ni tres personas consecutivas en el círculo, estén en el mismo grupo.

3 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ , respectivamente. Sea $X$ un punto sobre la circunferencia inscrita, distinto de los puntos $D,E,F$ . Las rectas $XD$ y $EF,XE$ y $FD,XF$ y $DE$ se cortan en los puntos $J,K,L$ , respectivamente. Sean además $M,N,P$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ , respectivamente, tales que las rectas $AM,BN,CP$ son concurrentes. Demuestre que las rectas $JM,KN$ y $LP$ son concurrentes. Dinu Serbanescu

Una secuencia infinita de dígitos $1$ y $2$ está determinada por las siguientes dos propiedades: i) La secuencia se construye escribiendo, en algún orden, bloques $12$ y bloques $112.$ ii) Si cada bloque $12$ se reemplaza por $1$ y cada bloque $112$ por $2$, se obtiene nuevamente la misma secuencia. ¿En qué posición está el centésimo dígito $1$? ¿Cuál es el milésimo dígito de la secuencia?

2017 g1 Sea $\Gamma$ una circunferencia con centro $O$ y diámetro $AB$ , y $C$ el punto medio de un arco $AB$ . $AB$ se prolonga más allá de $ B$ hasta un punto $D$ . $ P$ es un punto tal que $OP = CD$ y la recta $OP$ pasa por el punto medio $M$ de $CD$ . Sea $R$ el punto de tangencia desde $ P$ a $\Gamma$ en el arco $AB$ que no contiene a $C$ . Las intersecciones de $MR$ con $AD$ y de $MD$ con $PR$ son $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que $EF$ y $DR$ son paralelas.

2 Sea $G$ el grafo completo con $2015$ vértices. Cada arista de $G$ está coloreada de rojo, azul o blanco. Para un subconjunto $V$ de vértices de $G$ y un par de vértices $(u,v)$ , defina \[ L(u,v) = \{ u,v \} \cup \{ w | w \in V \ni \triangle{uvw} \text{ has exactly 2 red sides} \}\] Demuestre que, para cualquier elección de $V$ , existen al menos $120$ valores distintos de $L(u,v)$ .

3 Sean $L_1, L_2, L_3, L_4$ cuatro rectas en el espacio tales que no hay tres de ellas en el mismo plano. Suponga que $L_1, L_2$ se cortan en $A$ , que $L_2,L_3$ se cortan en $B$ y que $L_3, L_4$ se cortan en $C.$ Halle el número mínimo y el número máximo de rectas en el espacio que cortan a $L_1, L_2, L_3$ y $L_4.$ Justifique su respuesta. Amir