1B En $\triangle ABC$ , demuestre que \[\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}}{\sqrt{3}}\geq\sqrt[6]{tan^2\frac{A}{2}+tan^2\frac{B}{2}+tan^2\frac{C}{2}}.\]

3 Si $n=p_1^{a_1},p_2^{a_2}...p_s^{a_s}$ entonces $\phi (n)=n \left(1- \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right)...\left(1- \frac{1}{p_s}\right)$ . Halle el menor entero positivo $n$ tal que $\phi (n)=\frac{2^5}{47}n.$

1 Halle todas las soluciones enteras de la ecuación $$\frac{xyz}{w}+\frac{yzw}{x}+\frac{zwx}{y}+\frac{wxy}{z}=4$$

3 Sea $m(m>1)$ un entero; defina $(a_n)$ : $a_0=m,a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ para todo entero positivo $n$ . Si para todo entero no negativo $k$ se cumple $a_{k+1}\mid a_k$ , halle todos los $m$ que no superan $2016$ . Nota: $\varphi(n)$ denota la función de Euler.

2 El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\odot O$ . La bisectriz de $\angle ABC$ interseca a $\odot O$ en $D$ . Las dos rectas $PB$ y $PC$ tangentes a $\odot O$ se intersecan en $P$ . $PD$ interseca a $AC$ en $E$ y a $\odot O$ en $F$ . $M$ es el punto medio de $BC$ . Demuestre que $M,F,C,E$ son concíclicos.

8 Sea $A=\{1,2,\cdots,n\}$ . Si existen conjuntos no vacíos $B,C$ tales que $B\cap C=\varnothing,B\cup C=A$ . La suma de los cuadrados de todos los elementos de $B$ es $M$ , la suma de los cuadrados de todos los elementos de $C$ es $N$ , $M-N=2016$ . Halle el valor mínimo de $n$ .

4 (i) Resuelva la ecuación: \[ \sin^3(x) + \sin^3\left( \frac{2 \pi}{3} + x\right) + \sin^3\left( \frac{4 \pi}{3} + x\right) + \frac{3}{4} \cos {2x} = 0.\] (ii) Suponiendo que las soluciones tienen la forma de arcos $AB$ con un extremo en el punto $A$ , el comienzo de los arcos del círculo trigonométrico, y $P$ un polígono regular inscrito en el círculo con un vértice en $A$ , halle: 1) Los subconjuntos de arcos cuyo otro extremo está en $B$ , uno de los vértices del dodecágono regular. 2) Demuestre que ninguna solución puede tener el extremo $B$ en uno de los vértices del polígono $P$ cuyo número de lados es primo o tiene factores distintos de 2 o 3.

7 Se sabe que los números primos impares $x, y z$ satisfacen $$x|(y^5+1),y|(z^5+1),z|(x^5+1).$$ Halle el valor mínimo del producto $xyz$ .

6 La figura que se obtiene al quitar un pequeño cuadrado unitario del tablero cuadriculado $2\times 2$ se denomina forma $L$ ''shape". Coloque $k$ formas $L$ en un tablero cuadriculado $8\times 8$ . Cada forma $L$ puede rotarse, pero se requiere que cada forma $L$ cubra exactamente tres pequeños cuadrados unitarios del tablero, que el área común cubierta por cualesquiera dos formas $L$ sea $0$ y que, aparte de estas $k$ formas $L$ , no pueda colocarse ninguna otra forma $L$ . Halle el valor mínimo de $k$ .

5 Como se muestra en la figura, los puntos $D,E,F$ se encuentran sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CA$ del triángulo acutángulo $\vartriangle ABC$ respectivamente. Si $\angle EDC = \angle CDF$ , $\angle FEA=\angle AED$ , $\angle DFB =\angle BFE$ , demuestre que $CD$ , $AE$ , $BF$ son las alturas de $\vartriangle ABC$.