2 Hay $64$ casillas alrededor de una mesa circular y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas correspondientes están numeradas del $1$ al $64$ en este orden. En el centro de la mesa hay $1996$ bombillas que están todas apagadas. Cada minuto las fichas se mueven simultáneamente de manera circular (siguiendo el sentido de la numeración) como sigue: la ficha $1$ se mueve una casilla, la ficha $2$ se mueve dos casillas, etc., de modo que más de una ficha puede estar en la misma casilla. En cualquier minuto, por cada ficha que comparte casilla con la ficha $1$ se enciende una bombilla. ¿Dónde está la ficha $1$ en el primer minuto en que todas las bombillas están encendidas?

3 Demuestre que no es posible cubrir un tablero cuadrado de $6\times 6$ con dieciocho rectángulos de $2\times 1$ , de modo que cada una de las rectas que recorren las líneas interiores de la cuadrícula corte al menos uno de los rectángulos. Demuestre también que es posible cubrir un rectángulo de $6\times 5$ con quince rectángulos de $2\times 1 $ de modo que se cumpla la condición anterior.

4 ¿Para qué enteros $n\ge 2$ pueden escribirse los números del $1$ al $16$ , cada uno en una casilla de un papel cuadriculado de $4\times 4$ , de modo que las $8$ sumas de los números en filas y columnas sean todas diferentes y divisibles por $n$ ?

5 Los números del $1$ al $n^2$ se escriben en un papel cuadriculado n×n en el orden usual. Cualquier sucesión de pasos hacia la derecha y hacia abajo de una casilla a una adyacente (por lado) que comienza en la casilla $1$ y termina en la casilla $n^2$ se llama un camino. Denote por $L(C)$ la suma de los números por los que pasa el camino $C$ . (a) Para un $n$ fijo, sean $M$ y $m$ el mayor y el menor $L(C)$ posibles. Demuestre que $M-m$ es un cubo perfecto. (b) Demuestre que para ningún $n$ puede encontrarse un camino $C$ con $L(C ) = 1996$ .

3 $A, B, C, D$ son vértices consecutivos de un polígono regular de $7$ lados. $AL$ y $AM$ son tangentes a la circunferencia de centro $C$ y radio $CB$ . $N$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ . Demuestre que $L, M, N$ son colineales.

1 $500$ caramelos deben empaquetarse en un paquete de broma usando envoltorios de tamaños apropiados, de modo que se cumplan las siguientes condiciones (1) y (2). La condición (2) se refiere a toda forma posible de desenvolver todos los caramelos abriendo y retirando un envoltorio accesible a la vez (si varios envoltorios son accesibles, en cualquier orden): (1) Hay exactamente un envoltorio que contiene todo el paquete. (2) Al abrir este envoltorio y cada envoltorio posterior, se encuentra que su contenido consiste en al menos tres subpaquetes completamente envueltos o exactamente un caramelo sin envolver. ¡Determine el mayor número posible de envoltorios que puede tener tal paquete!

2 Considere 6 puntos en un plano tales que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Demuestre que hay al menos 3 puntos que forman un triángulo equilátero.

2 Sea $ABCD$ un tetraedro y sean $E,F,G,H,K,L$ puntos que están sobre las aristas $AB,BC,CD$ $,DA,DB,DC$ respectivamente, de tal manera que \[AE \cdot BE = BF \cdot CF = CG \cdot AG= DH \cdot AH=DK \cdot BK=DL \cdot CL.\] Demuestra que los puntos $E,F,G,H,K,L$ están todos sobre una esfera.

4 Demuestre que no existen números naturales $k, m$ tales que los números $k^2+2m$, $m^2+2k$ sean cuadrados de enteros.

1 $N$ estudiantes están sentados en pupitres dispuestos en un arreglo de $m \times n$ , donde $m, n \ge 3$ . Cada estudiante da la mano a los estudiantes que están adyacentes horizontal, vertical o diagonalmente. Si hay $1020 $ apretones de manos, ¿cuánto vale $N$ ?