9.1 ¿Puede la suma $$(x + 1)^2 + (x + 2)^2 + \dots + (x + 9)^2$$ ser un cubo de un número natural para algún natural $x$ ?

9.3 Se dan números reales $x$ e $y$ tales que $$x^2 + xy + y^2 \ge x^3 + y^3$$ ¿Cuál es el mayor valor posible de la suma $x + y$ ?

9.8 Sea $p > 2$ un número primo. Un conjunto $M$ formado por $\frac{p-1}{2}$ números naturales se llama bueno si, después de escribir en la pizarra, para cada elemento $a \in M$ , los números $a$ y $2a + 3$ , obtenemos una colección de $p - 1$ números que dan restos distintos dos a dos módulo $p$ . a) Determine si existe un conjunto bueno para $p = 73$ . b) Para cada número primo $p$ de la forma $2^k + 1$ , $k \in \mathbb{N}$ , determine si existe un conjunto bueno.

10.3 A cada par $(x,y)$ de enteros se le asigna un cierto entero, denotado por $x \circ y$ . Los números $x \circ y$ e $y \circ x$ pueden ser diferentes. Resulta que para cualesquiera enteros $a,b,c,$ y $d$ se cumple la igualdad \[ (a \circ b + d) \circ c = (a - b) \circ (c - d) + 1 \] . Halle el valor de $2025 \circ 1991$ .

10.8 Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión infinita de números naturales. Un conjunto finito $S = \{n_1, n_2, \dots, n_k\}$ de números naturales se llama cuadrado si el número \[ a_{n_1} + a_{n_2} + \dots + a_{n_k} \] es un cuadrado perfecto. ¿Es posible que, para una sucesión dada $a_1, a_2, \dots$ a) no existan conjuntos cuadrados? b) un conjunto sea cuadrado si y solo si tiene la forma $\{1, 2, \dots, n\}$ para algún número natural $n$ ?

10.6 Dos polinomios cuadráticos $f(x)$ y $h(x)$ con coeficientes enteros satisfacen $f(\sqrt{3}) = h(-\sqrt{3})$ y $f(2)=h(-2) + 44$ . Halle todos los valores posibles de la diferencia $f(7) - h(-7)$ .

10.5 En el triángulo $ABC$ , el punto $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita, y $M$ es el punto medio del lado $AC$ . Sobre el lado $BC$ se elige un punto interior arbitrario $D$ . La recta $DM$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ nuevamente en el punto $N$ . Demuestre que el ángulo $\angle ANO$ es un ángulo recto.

10.7 Llamamos bota izquierda de altura $n \geq 2$ a la figura que se obtiene al unir un cuadrado $1 \times 1$ a la izquierda de la celda inferior de un rectángulo vertical $n \times 1$ (véase la Figura 1). De manera análoga, defina la bota derecha de altura $n \geq 2$ (véase la Figura 2). Una escalera de altura $n$ es una figura cuya $i$ -ésima fila desde arriba consta de $i$ cuadrados unitarios, y los últimos cuadrados de todas las filas forman un rectángulo vertical $n \times 1$ (véase la Figura 3). a) Halle todos los $n$ tales que una escalera de altura $n$ se pueda cortar a lo largo de las líneas de la cuadrícula en botas (de cualesquiera alturas y de ambos tipos). b) Para todos esos $n$ , halle el número mínimo de botas izquierdas necesarias para la disección. [asy] size(12cm); real w = 1; int n1 = 6; // ===================== // BRACES (AoPS-safe) // ===================== path vbraceR(pair A, pair B, real d=0.4) { pair M = (A+B)/2; return A .. controls (A+(d,0)) and (M+(d,0)) .. M .. controls (M+(d,0)) and (B+(d,0)) .. B; } path vbraceL(pair A, pair B, real d=0.4) { pair M = (A+B)/2; return A .. controls (A+(-d,0)) and (M+(-d,0)) .. M .. controls (M+(-d,0)) and (B+(-d,0)) .. B; } path hbraceD(pair A, pair B, real d=0.4) { pair M = (A+B)/2; return A .. controls (A+(0,-d)) and (M+(0,-d)) .. M .. controls (M+(0,-d)) and (B+(0,-d)) .. B; } // ===================== // FIGURE 1 (picture) // ===================== picture pic1; draw(pic1, box((0,n1-1),(w,n1))); draw(pic1, box((0,n1-2),(w,n1-1))); draw(pic1, box((0,1),(w,2))); draw(pic1, box((0,0),(w,1))); draw(pic1, box((-w,0),(0,1))); label(pic1, "$\vdots$", (w/2,n1/2)); draw(pic1, vbraceR((w,0),(w,n1))); label(pic1, "$n$", (w+1,n1/2)); label(pic1, "Figure 1", (0,-1)); // ===================== // FIGURE 2 (picture) // ===================== picture pic2; draw(pic2, box((0,n1-1),(w,n1))); draw(pic2, box((0,n1-2),(w,n1-1))); draw(pic2, box((0,1),(w,2))); draw(pic2, box((0,0),(w,1))); draw(pic2, box((w,0),(2*w,1))); label(pic2, "$\vdots$", (w/2,n1/2)); draw(pic2, vbraceL((0,0),(0,n1))); label(pic2, "$n$", (-1,n1/2)); label(pic2, "Figure 2", (0.8,-1)); // ===================== // FIGURE 3 (picture) // ===================== picture pic3; for(int i=0;i<4;++i) for(int j=0;j<2;++j) if(!(i==0 && j==1)) draw(pic3, box((i*w,j*w),(i*w+w,j*w+w))); draw(pic3, box((2*w,3*w),(3*w,4*w))); draw(pic3, box((3*w,3*w),(4*w,4*w))); draw(pic3, box((3*w,4*w),(4*w,5*w))); label(pic3, "$\cdots$", (3*w,2.5*w)); draw(pic3, vbraceR((4*w,0),(4*w,5*w))); label(pic3, "$n$", (5.2,2.5)); draw(pic3, hbraceD((0,0),(4*w,0))); label(pic3, "$n$", (2*w,-1)); label(pic3, "Figure 3", (2*w,-2)); // ===================== // PLACE FIGURES (NO OVERLAP) // ===================== add(shift((0,0)) * scale(0.9) * pic1); add(shift((6,0)) * scale(0.9) * pic2); add(shift((12,0)) * scale(0.8) * pic3); [/asy]

10.4 La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $AB$ , $BC$ y $CA$ en los puntos $C_1$ , $A_1$ y $B_1$ , respectivamente. Los puntos $D$ y $E$ son los puntos medios de los segmentos $A_1B_1$ y $A_1C_1$ , respectivamente. Las rectas $B_1E$ y $C_1D$ intersecan a la circunferencia inscrita por segunda vez en los puntos $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $B$ , $F$ , $G$ y $C$ están sobre una misma circunferencia.

11.2 Por un punto fijo $C$ de la hipérbola $y = \frac{1}{x}$ se trazan todas las circunferencias posibles que intersecan a la hipérbola en otros tres puntos cuyas abscisas suman cero. Demuestre que todas esas circunferencias, además del punto $C$ , tienen un punto común más.