1 Dados dos dominios poligonales (idénticos) en el plano euclidiano, en general no es posible superponerlos usando solamente traslaciones y rotaciones. Demuestre que esto puede lograrse, sin embargo, dividiendo uno de los dominios en un número finito de subdominios poligonales que luego encajan, mediante traslaciones y rotaciones en el plano, para reconstruir el otro dominio.

1 Halle todas las funciones monótonamente crecientes o monótonamente decrecientes $f: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ que satisfacen la ecuación $f\left(xy\right)\cdot f\left(\frac{f\left(y\right)}{x}\right)=1$ para cualesquiera dos números $x$ e $y$ de $\mathbb{R}_+$ . Aquí, $\mathbb{R}_+$ es el conjunto de todos los números reales positivos. Nota. Una función $f: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ se llama monótonamente creciente si para cualesquiera dos números positivos $x$ e $y$ tales que $x\geq y$ , se tiene $f\left(x\right)\geq f\left(y\right)$ . Una función $f: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ se llama monótonamente decreciente si para cualesquiera dos números positivos $x$ e $y$ tales que $x\geq y$ , se tiene $f\left(x\right)\leq f\left(y\right)$ . darij

1 En lo que sigue, una palabra significará una sucesión finita de letras " $a$ " y " $b$ " . La longitud de una palabra significará el número de letras de la palabra. Por ejemplo, $abaab$ es una palabra de longitud $5$ . Existe exactamente una palabra de longitud $0$ , a saber, la palabra vacía. Una palabra $w$ de longitud $\ell$ formada por las letras $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_{\ell}$ en este orden se llama palíndromo si y solo si $x_j=x_{\ell+1-j}$ se cumple para todo $j$ tal que $1\leq j\leq\ell$ . Por ejemplo, $baaab$ es un palíndromo; también lo es la palabra vacía. Para dos palabras $w_1$ y $w_2$ , sea $w_1w_2$ la palabra formada escribiendo la palabra $w_2$ inmediatamente después de la palabra $w_1$ . Por ejemplo, si $w_1=baa$ y $w_2=bb$ , entonces $w_1w_2=baabb$ . Sean $r$ , $s$ , $t$ enteros no negativos que satisfacen $r + s = t + 2$ . Demuestre que existen palíndromos $A$ , $B$ , $C$ con longitudes $r$ , $s$ , $t$ , respectivamente, tales que $AB=Cab$ , si y solo si los enteros $r + 2$ y $s - 2$ son primos entre sí. darij

N5 Sean $a$ y $b$ enteros positivos distintos tales que $3^a + 2$ es divisible por $3^b + 2$. Demuestra que $a > b^2$. Propuesto por Tynyshbek Anuarbekov, Kazajistán.

a) En el plano hay $16$ rectas, no dos de las cuales son paralelas y no tres de las cuales son concurrentes. Estas rectas se intersectan en un total de $120$ puntos. Sebastián debe colorear estos $120$ puntos de intersección de modo que en cada recta todos los puntos tengan colores diferentes (es decir, no dos puntos sobre la misma recta compartan el mismo color). a) ¿Cuál es el número mínimo de colores que Sebastián necesita para colorear los $120$ puntos? Además, considera la misma situación con $15$ rectas (que producen $105$ puntos de intersección). b) ¿Cuál es el número mínimo de colores necesarios en este caso?

2014.2 De una hoja de papel con largo $a$ y ancho $b$ tales que $b <a<2b$ se corta a lo largo de una recta un cuadrado $V_1$ lo más grande posible. Del rectángulo restante se corta nuevamente a lo largo de una recta un cuadrado $V_2$ lo más grande posible. (a) Demuestre que el perímetro del rectángulo que queda ahora es mayor que un tercio del perímetro del rectángulo original. (b) Demuestre que el área del rectángulo restante no es mayor que $(3 - 2\sqrt2)$ veces la del rectángulo original

42 Demuestra que para números reales no negativos $a,b$ y enteros $n\ge 2$, se tiene \[ \frac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \] ¿Cuándo se da la igualdad?

5 $p=3k+1$ es un número primo. Para cada $m \in \mathbb Z_p$ , defina la función $L$ como sigue: $L(m) = \sum_{x \in \mathbb{Z}_p}^{ } \left ( \frac{x(x^3 + m)}{p} \right )$ a) Para todo $m \in \mathbb Z_p$ y $t \in {\mathbb Z_p}^{*}$ demuestre que $L(m) = L(mt^3)$ . (5 puntos) b) Demuestre que existe una partición de ${\mathbb Z_p}^{*} = A \cup B \cup C$ tal que $|A| = |B| = |C| = \frac{p-1}{3}$ y $L$ es constante en cada conjunto. Equivalentemente, existen $a,b,c$ para los cuales $L(x) = \left\{\begin{matrix} a & & &x \in A \\ b& & &x \in B \\ c& & & x \in C \end{matrix}\right.$ . (7 puntos) c) Demuestre que $a+b+c = -3$ . (4 puntos) d) Demuestre que $a^2 + b^2 + c^2 = 6p+3$ . (12 puntos) e) Sean $X= \frac{2a+b+3}{3},Y= \frac{b-a}{3}$ ; demuestre que $X,Y \in \mathbb Z$ y también que $p= X^2 + XY +Y^2$ . (2 puntos) ( ${\mathbb Z_p}^{*} = \mathbb Z_p \setminus \{0\}$ )

5 Encuentra todas las funciones \(f\) de los reales a los reales tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para todos los reales \(x,y,z,t\).

1 Dado el triángulo \(ABC\), el punto \(J\) es el centro de la excircunferencia opuesta al vértice \(A\). Esta excircunferencia es tangente al lado \(BC\) en \(M\), y a las rectas \(AB\) y \(AC\) en \(K\) y \(L\), respectivamente. Las rectas \(LM\) y \(BJ\) se cortan en \(F\), y las rectas \(KM\) y \(CJ\) se cortan en \(G\). Sea \(S\) el punto de intersección de las rectas \(AF\) y \(BC\), y sea \(T\) el punto de intersección de las rectas \(AG\) y \(BC\). Demuestra que \(M\) es el punto medio de \(ST\). (La excircunferencia de \(ABC\) opuesta al vértice \(A\) es la circunferencia que es tangente al segmento \(BC\), a la semirrecta \(AB\) más allá de \(B\), y a la semirrecta \(AC\) más allá de \(C\).) Propuesto por Evangelos Psychas, Grecia.