5 Sea \( K \) el punto medio del lado \( AB \) de un triángulo dado \( ABC \). Sean \( L \) y \( M \) puntos en los lados \( AC \) y \( BC \), respectivamente, tales que \( \angle CLK = \angle KMC \). Demuestra que las perpendiculares a los lados \( AB, AC \) y \( BC \) que pasan por \( K, L \) y \( M \), respectivamente, son concurrentes.

4 Sea $ p>2 $ un número primo. Para cualquier permutación $ \pi = ( \pi(1) , \pi(2) , \cdots , \pi(p) ) $ del conjunto $ S = \{ 1, 2, \cdots , p \} $, sea $ f( \pi ) $ el número de múltiplos de $ p $ entre los siguientes $ p $ números: \[ \pi(1) , \pi(1) + \pi(2) , \cdots , \pi(1) + \pi(2) + \cdots + \pi(p) \] Determina el valor promedio de $ f( \pi) $ sobre todas las permutaciones $ \pi $ de $ S $.

3 Sea $ n $ un entero positivo. Considera palabras de longitud $n$ compuestas por letras del conjunto $ \{ M, E, O \} $ . Sea $ a $ el número de tales palabras que contienen un número par (posiblemente 0) de bloques $ ME $ y un número par (posiblemente 0) de bloques $ MO $ . De manera similar, sea $ b $ el número de tales palabras que contienen un número impar de bloques $ ME $ y un número impar de bloques $ MO $ . Demuestra que $ a>b $ .

Sea $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ una función arbitraria. Demuestre que existen dos enteros positivos $x$ e $y$ que satisfacen $f(x+y) \le f(2x+f(y))$ . (Propuesto por David Anghel, Rumania)

7 Encuentra todos los tripletes $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que \[ x^y + y^x = z^y \] \[ x^y + 2012 = y^{z+1} \]

6 Sea \( ABCD \) un cuadrilátero convexo sin pares de lados paralelos, tal que \( \angle ABC = \angle CDA \). Supón que las intersecciones de los pares de bisectrices adyacentes de \( ABCD \) forman un cuadrilátero convexo \( EFGH \). Sea \( K \) la intersección de las diagonales de \( EFGH \). Demuestra que las rectas \( AB \) y \( CD \) se cortan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo \( BKD \).

1 Igual que junior

1 Sean $ a,b,c,d$ números reales positivos con $ a+b+c+d = 4$ . Demuestra que \[ a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\leq 4.\] Yimin

2 igual que los juniors

Para cualquier entero positivo $n $, sea $ d(n) $ el número de divisores positivos de $ n $ . ¿Existen enteros positivos $ a $ y $b $ tales que $ d(a)=d(b)$ y $ d(a^2 ) = d(b^2 ) $ , pero $ d(a^3 ) \ne d(b^3 ) $ ?