4 Yukihira está calculando el número mínimo de rectas $m$ que pueden trazarse en el plano de modo que se intersequen en exactamente $200$ puntos distintos. ¿Cuál es $m$?

3 BdMO National 2018 Higher Secondary P3 Nazia lanza cuatro dados equilibrados de seis caras. No ve los resultados. Su amiga Faria le dice que el producto de los números es $144$. Faria también dice que la suma de los dados, $S$, satisface $14\leq S\leq 18$. Nazia le dice a Faria que $S$ no puede ser uno de los números del conjunto { $14,15,16,17,18$ } si el producto es $144$. ¿Qué número del rango { $14,15,16,17,18$ } es un valor imposible para $S$?

5 Se dibujan cuatro círculos con los lados del cuadrilátero $ABCD$ como diámetros. Los dos círculos que pasan por $A$ se vuelven a encontrar en $E$. Los dos círculos que pasan por $B$ se vuelven a encontrar en $F$. Los dos círculos que pasan por $C$ se vuelven a encontrar en $G$. Los dos círculos que pasan por $D$ se vuelven a encontrar en $H$. Suponga que $ E, F, G,H $ son todos distintos. ¿Es el cuadrilátero $EFGH$ semejante a $ABCD$? Demuéstrelo.

7 Juli es una matemática y diseñó un algoritmo para encontrar marido. La estrategia es: • Comience entrevistando como máximo a $1000$ posibles maridos. Asigne a cada persona una clasificación $r$ que es un entero positivo. No hay dos candidatos con la misma clasificación $r$. • Rechace a los primeros $k$ hombres y sea $H$ la clasificación más alta de estos $k$ hombres. • Después de rechazar a los primeros $k$ hombres, seleccione al siguiente candidato con una clasificación mayor que $H$ y detenga la búsqueda inmediatamente. Si ningún candidato es seleccionado después de $999$ entrevistas, se selecciona a la $1000th$ persona. Juli quiere hallar el valor de $k$ para el cual tiene la mayor probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sin tener que entrevistar a los $1000$ candidatos. (a) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sea el candidato $(m + 1)th$? (b) (6 puntos:) Suponga que el candidato de mayor clasificación es la persona $(m + 1)th$ en ser entrevistada. ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los primeros $m$ candidatos sea uno de los primeros $k$ candidatos que fueron rechazados? (c) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato con la clasificación más alta sea la persona $(m+1)th$ y de que Juli elija al hombre $(m+1)th$ usando este algoritmo? (d) (16 puntos:) La probabilidad total de que Juli elija al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos es la suma de las probabilidades para cada valor posible de $m+1$, con $m+1$ variando entre $k+1$ y $1000$. Halle la suma. Para simplificar su respuesta, use la fórmula $In N \approx \frac{1}{N-1}+\frac{1}{N-2}+...+\frac{1}{2}+1$ (e) (6 puntos:) Halle el valor de $k$ que maximiza la probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación sin entrevistar a los $1000$ candidatos. Puede necesitar saber que el máximo de la función $x ln \frac{A}{x-1}$ es aproximadamente $\frac{A + 1}{e}$, donde $A$ es una constante y $e$ es el número de Euler, $e = 2.718....$

9 Considere la integral $Z(0)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^2}= \sqrt{\pi}$. (a) Demuestre que la integral $Z(j)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^{2}+jx}$, donde $j$ no es una función de $x$, es $Z(j)=e^{j^{2}/4a} Z(0)$. (b) Demuestre que $$\dfrac 1 {Z(0)}=\int x^{2n} e^{-x^2}= \dfrac {(2n-1)!!}{2^n},$$ donde $(2n-1)!!$ se define como $(2n-1)(2n-3)\times\cdots\times3\times 1$. (c) ¿Cuál es el número de maneras de formar $n$ pares a partir de $2n$ objetos distintos? Interprete la parte anterior del problema en términos de esta respuesta.

5 Un tetraedro es un poliedro compuesto por cuatro caras triangulares. Las caras $ABC$ y $BCD$ de un tetraedro $ABCD$ se encuentran formando un ángulo de $\pi/6$. El área del triángulo $\triangle ABC$ es $120$. El área del triángulo $\triangle BCD$ es $80$, y $BC = 10$. ¿Cuál es el volumen del tetraedro? Llamamos al volumen de un tetraedro un tercio del área de su base multiplicada por su altura.

2 BdMO National Higher Secondary Problem 3 Sea $N$ el número de pares de enteros $(m,n)$ que satisfacen la ecuación $m^2+n^2=m^3$. ¿Es $N$ finito o infinito? Si $N$ es finito, ¿cuál es su valor?

6 El trapecio $ABCD$ tiene lados $AB=92,BC=50,CD=19,AD=70$. $AB$ es paralelo a $CD$. Se dibuja un círculo con centro $P$ en $AB$ tangente a $BC$ y $AD$. Dado que $AP=\dfrac mn$ (donde $m,n$ son coprimos), ¿cuál es $m+n$?

3 Sea $n$ un entero positivo. Considere el polinomio $p(x)=x^2+x+1$. ¿Cuál es el residuo de $ x^3$ al dividirlo por $x^2+x+1$? ¿Para qué valores enteros positivos de $n$ es $ x^{2n}+x^n+1$ divisible por $p(x)$? Post no: $100$

3 ¿Existe un entero positivo $n$ tal que la suma de todos los dígitos del número $n(4n+1)$ sea igual a $2017$ ?