4 Halle todos los números naturales $n > 1$ para los cuales existen números naturales $a_1,a_2,...,a_n$ tales que los números $\{a_i +a_j | 1 \le i \le j \le n \}$ forman un sistema completo módulo $\frac{n(n+1)}{2}$ .

5 Sea $Oxy$ un sistema de coordenadas rectangulares fijo en el plano. A cada par ordenado de puntos $A_1, A_2$ del mismo plano, distintos de O y con coordenadas $x_1, y_1$ y $x_2, y_2$ respectivamente, se le asocia un número real $f(A_1,A_2)$ de modo que se satisfacen las siguientes condiciones: (a) Si $OA_1 = OB_1$ , $OA_2 = OB_2$ y $A_1A_2 = B_1B_2$ , entonces $f(A_1,A_2) = f(B_1,B_2)$ . (b) Existe un polinomio de segundo grado $F(u,v,w,z)$ tal que $f(A_1,A_2)=F(x_1,y_1,x_2,y_2)$ . (c) Existe un número $\phi \in (0,\pi)$ tal que para cada dos puntos $A_1, A_2$ para los cuales se satisface $\angle A_1OA_2 = \phi$ , se tiene $f(A_1,A_2) = 0$ . (d) Si los puntos $A_1, A_2$ son tales que el triángulo $OA_1A_2$ es equilátero de lado $1$ , entonces $ f(A_1,A_2) = \frac12$ . Demuestre que $f(A_1,A_2) = \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OA_2}$ para cada par ordenado de puntos $A_1, A_2$ .

6 Halle todos los números naturales $n$ para los cuales existe un conjunto $S$ de $n$ puntos en el plano que satisface la condición: Para cada punto $A \in S$ existen al menos tres puntos, digamos $X, Y, Z$ , de $S$ tales que los segmentos $AX, AY$ y $ AZ$ tienen longitud $1$ (es decir, $AX = AY = AZ = 1$ ) .

Por un punto arbitrario $C_1$ de la arista $DC$ del tetraedro regular $ABCD$ se traza un plano paralelo al plano $ABC$ . El plano construido interseca las aristas $DA$ y $DB$ en los puntos $A_1,B_1$ respectivamente. Sea $H$ el punto medio de la altura trazada por el vértice $D$ del tetraedro $DA_1B_1C_1$ y sea $M$ el centro de gravedad (baricentro) del triángulo $ABC_1$ . Demuestre que la medida del ángulo $HMC$ no depende de la posición del punto $C_1$ . (Ivan Tonov)

Demuestre que existe un subconjunto de $1904$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,1992\}$ que no contiene una progresión aritmética de $41$ términos. (Ivan Tonov)

Sean $m$ y $n$ números naturales fijos y sea $Oxy$ un sistema de coordenadas en el plano. Halle el número total de todas las configuraciones posibles de $n+m-1$ puntos $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\ldots,P_{n+m-1}(x_{n+m-1},y_{n+m-1})$ en el plano para las cuales se satisfacen las siguientes condiciones: (i) Los números $x_i$ y $y_i~(i=1,2,\ldots,n+m-1)$ son enteros y $1\le x_i\le n,1\le y_i\le m$ . (ii) Cada uno de los números $1,2,\ldots,n$ puede hallarse en la sucesión $x_1,x_2,\ldots,x_{n+m-1}$ y cada uno de los números $1,2,\ldots,m$ puede hallarse en la sucesión $y_1,y_2,\ldots,y_{n+m-1}$ . (iii) Para cada $i=1,2,\ldots,n+m-2$ la recta $P_iP_{i+1}$ es paralela a uno de los ejes de coordenadas. (Ivan Gochev, Hristo Minchev)

Sea $p$ un número primo de la forma $p=4k+3$ . Demuestre que si los números $x_0,y_0,z_0,t_0$ son soluciones de la ecuación $x^{2p}+y^{2p}+z^{2p}=t^{2p}$ , entonces al menos uno de ellos es divisible por $p$ . (Plamen Koshlukov)

Los puntos $D,E,F$ son los puntos medios de los lados $AB,BC,CA$ del triángulo $ABC$ . Las bisectrices de los ángulos $BDC$ y $ADC$ intersecan las rectas $BC$ y $AC$ respectivamente en los puntos $M$ y $N$ , y la recta $MN$ interseca la recta $CD$ en el punto $O$ . Sean $P$ y $Q$ los puntos donde las rectas $EO$ y $FO$ intersecan respectivamente las rectas $AC$ y $BC$ . Demuestre que $CD=PQ$ . (Plamen Koshlukov)

Se dan una caja negra y $n$ cajas blancas ( $n$ es un número natural arbitrario). Las cajas blancas se numeran con los números $1,2,\ldots,n$ . En ellas se colocan $n$ bolas. Se permite la siguiente reordenación de las bolas: si en la caja con número $k$ hay exactamente $k$ bolas, esa caja se vacía: una de las bolas se coloca en la caja negra y las otras $k-1$ bolas se colocan en las cajas con números: $1,2,\ldots,k-1$ . (Ivan Tonov)

21 Las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran en $X$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demuestre que (a) $\angle BAM = \angle CAX$ , y (b) $\frac{AM}{AX} = \cos\angle BAC.$ Amir