5 Un par de enteros es especial si es de la forma $(n, n-1)$ o $(n-1, n)$ para algún entero positivo $n$ . Sean $n$ y $m$ enteros positivos tales que el par $(n, m)$ no es especial. Demuestre que $(n, m)$ puede expresarse como una suma de dos o más pares especiales diferentes si y solo si $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $ n+m\geq (n-m)^2 $ . Nota: La suma de dos pares se define como $ (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) $ .

2 ¿Cuántos cuadrados se deben pintar como mínimo en un tablero de $5 \times 5$ para que en cada fila, en cada columna y en cada cuadrado de $2 \times 2$ haya al menos un cuadrado pintado?

3 ¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que se pueden tomar del conjunto $\{1, 2, ... , 2012, 2013\}$ , de tal manera que entre ellos no haya tres distintos, digamos $a$ , $b$ y $c$ , tales que $a$ sea divisor o múltiplo de $b-c$ ?

3 Sea $\Gamma_1$ una circunferencia y $P$ un punto exterior a $\Gamma_1$ . Las tangentes trazadas desde $P$ a $\Gamma_1$ tocan a la circunferencia en $A$ y $B$ . Sea $M$ el punto medio de $PA$ y $\Gamma_2$ la circunferencia que pasa por $P$ , $A$ y $B$ . La recta $BM$ corta a $\Gamma_2$ en $C$ , la recta $CA$ corta a $\Gamma_1$ en $D$ , el segmento $DB$ corta a $\Gamma_2$ en $E$ y la recta $PE$ corta a $\Gamma_1$ en $F$ , con $E$ en el segmento $PF$ . Demuestre que las rectas $AF$ , $BP$ y $CE$ son concurrentes.

6 Sea $A_1A_2 ... A_8$ un octágono convexo tal que todos sus lados son iguales y sus lados opuestos son paralelos. Para cada $i = 1, ... , 8$ , defina $B_i$ como la intersección entre los segmentos $A_iA_{i+4}$ y $A_{i-1}A_{i+1}$ , donde $A_{j+8} = A_j$ y $B_{j+8} = B_j$ para todo $j$ . Demuestre que algún número $i$ , entre 1, 2, 3 y 4, satisface \[\frac{A_iA_{i+4}}{B_iB_{i+4}} \leq \frac{3}{2}\]

1 Sea $\mathcal{C}_1$ una circunferencia con centro $O$ , $P$ un punto sobre ella y $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$ . Considere un punto $Q$ sobre $\ell$ distinto de $P$ , y sea $\mathcal{C}_2$ la circunferencia que pasa por $O$ , $P$ y $Q$ . El segmento $OQ$ corta a $\mathcal{C}_1$ en $S$ y la recta $PS$ corta a $\mathcal{C}_2$ en un punto $R$ distinto de $P$ . Si $r_1$ y $r_2$ son los radios de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ , respectivamente, demuestre \[\frac{PS}{SR} = \frac{r_1}{r_2}.\]

2 Sea $n \geq 4$ un entero par. Considere una cuadrícula de $n \times n$ . Dos celdas (casillas de $1 \times 1$ ) son vecinas si comparten un lado, están en extremos opuestos de una fila, o están en extremos opuestos de una columna. De esta manera, cada celda de la cuadrícula tiene exactamente cuatro vecinas. Se escribe un entero del 1 al 4 dentro de cada casilla de acuerdo con las siguientes reglas: Si una celda tiene escrito un 2, entonces al menos dos de sus vecinas contienen un 1. Si una celda tiene escrito un 3, entonces al menos tres de sus vecinas contienen un 1. Si una celda tiene escrito un 4, entonces todas sus vecinas contienen un 1. Entre todos los arreglos que satisfacen estas condiciones, ¿cuál es el número máximo que se puede obtener al sumar todos los números de la cuadrícula?

3 Demuestre que entre cualesquiera $14$ enteros positivos consecutivos existen $6$ que son primos relativos dos a dos.

4 El siguiente proceso se aplica a cada entero positivo: la suma de sus dígitos se resta del número, y el resultado se divide entre $9$ . Por ejemplo, el resultado del proceso aplicado a $938$ es $102$ , ya que $\frac{938-(9 + 3 + 8)}{9} = 102.$ Aplicando el proceso dos veces a $938$ el resultado es $11$ , aplicado tres veces el resultado es $1$ , y aplicándolo cuatro veces el resultado es $0$ . Cuando el proceso se aplica una o más veces a un entero $n$ , el resultado es eventualmente $0$ . El número obtenido antes de obtener $0$ se llama la casa de $n$ . ¿Cuántos enteros menores que $26000$ comparten la misma casa que $2012$ ?

4 Un cubo de lado 3 se divide en 27 cubos unitarios. Los cubos unitarios se etiquetan arbitrariamente del 1 al 27 (cada cubo recibe un número distinto). Un movimiento consiste en intercambiar el cubo etiquetado con 27 con uno de sus 6 vecinos. ¿Es posible encontrar una secuencia finita de movimientos al final de la cual el cubo 27 esté en su posición original, pero el cubo \(n\) se haya movido a la posición que ocupaba originalmente el cubo \(27-n\) (para cada \(n = 1, 2, \ldots, 26\))? Valentin