4 Se dan los números naturales $ a $ , $ b $ , $ c $ y $ d $ tales que los números $ a $ y $ b $ son primos relativos y $ a> b. $ Se sabe que el número $ c ^ 2 $ es divisible por $ a ^ 2 + b $ , y que el número $ d ^ 2 $ es divisible por $ a ^ 2 + b ^ 2. $ Demuestre que $ cd> 2a ^ 2. $

3 ¿Existe una función $f:\mathbb {N}\to \mathbb {N}$ tal que para $\forall m,n \in \mathbb {N}$ $$f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n ?$$

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Se eligen puntos $X$ y $Y$ en las rectas $BI$ y $CI$ respectivamente, tales que $DXIY$ es un paralelogramo. Se eligen puntos $E$ y $F$ en el lado $BC$ tales que $AX$ y $AY$ son las bisectrices de los ángulos $\angle BAE$ y $\angle CAF$ respectivamente. Sea $\omega$ la circunferencia tangente al segmento $EF$, a la extensión de $AE$ más allá de $E$, y a la extensión de $AF$ más allá de $F$. Demuestra que $\omega$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

2 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca\leq 3abc$ . Demuestre que \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\leq \sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\] Propuesto por Dzianis Pirshtuk, Bielorrusia

2 Determine todos los $n \in \mathbb{Z}^+$ tales que un hexágono regular (es decir, todos los lados de igual longitud y todos los ángulos interiores del mismo tamaño) puede ser particionado en un número finito de $n-$ gonos que pueden componerse en $n$ hexágonos regulares congruentes de manera no superpuesta mediante ciertas rotaciones y traslaciones.

2 Demuestre que hay infinitos números de la forma $18^{m}+45^{m}+50^{m}+125^{m}$ divisibles por 2006. $m\in N$

2 Sea $ABCD$ un rectángulo y denotemos por $M$ y $N$ los puntos medios de $AD$ y $BC$ respectivamente. El punto $P$ está en $(CD$ tal que $D\in (CP)$ , y $PM$ interseca a $AC$ en $Q$ . Demuestre que $m(\angle{MNQ})=m(\angle{MNP})$ .

1 Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ seis puntos sobre una circunferencia tales que $AE\parallel BD$ y $BC\parallel DF$ . Sea $X$ el reflejo del punto $D$ respecto de la recta $CE$ . Demuestre que la distancia del punto $X$ a la recta $EF$ es igual a la distancia del punto $B$ a la recta $AC$ .

Oleksii escribió \( 2n \) ( \( n > 1 \) ) enteros positivos consecutivos en el pizarrón. Después, agrupó estos números en pares de alguna manera, y dentro de cada par multiplicó los dos números. Luego escribió los \( n \) productos resultantes en el pizarrón en lugar de los números originales. Después, Anton escribió la diferencia entre el mayor y el menor de los números que escribió Oleksii. Oleksii quiere que Anton escriba el número más pequeño posible. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede escribir? Propuesto por Oleksii Masalitin, Anton Trygub

1 Cada entero de $1$ a $n$ fue coloreado de rojo o de azul, y cada color se usó al menos una vez. Resultó que: $\bullet$ Todo número rojo es suma de dos números azules distintos; $\bullet$ Todo número azul es diferencia de dos números rojos. Halle el menor número $n$ para el cual tal coloración es posible.