3. Tenemos un tablero de $n \times n$ . Coloreamos el cuadrado unitario $(i,j)$ de negro si $i=j$ , de rojo si $i<j$ y de verde si $i>j$ . Sea $a_{i,j}$ el color del cuadrado unitario $(i,j)$ . En cada movimiento intercambiamos dos filas y escribimos la $n$ - tupla $(a_{1,1},a_{2,2},\cdots,a_{n,n})$ . ¿Cuántas $n$ - tuplas podemos obtener repitiendo este proceso? (nótese que el orden de los números es importante) Parsia--

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ . Sea $\Gamma $ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $A$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $Q$ el punto sobre $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto sobre $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$ . Suponga que los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $K$ y $Q$ son todos distintos y yacen sobre $\Gamma$ en ese orden. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí. Propuesto por Ucrania

6 Sea $n \ge 3$ un entero, y considere una circunferencia con $n + 1$ puntos igualmente espaciados marcados en ella. Considere todas las etiquetaciones de estos puntos con los números $0, 1, ... , n$ tales que cada etiqueta se usa exactamente una vez; dos etiquetaciones de este tipo se consideran iguales si una se puede obtener de la otra mediante una rotación de la circunferencia. Una etiquetación se llama bella si, para cualesquiera cuatro etiquetas $a < b < c < d$ con $a + d = b + c$ , la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no interseca la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$ . Sea $M$ el número de etiquetaciones bellas, y sea N el número de pares ordenados $(x, y)$ de enteros positivos tales que $x + y \le n$ y $\gcd(x, y) = 1$ . Demuestre que $$M = N + 1.$$

2 Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos tales que $2ab$ divide a $a^2+b^2-a$ . Demuestre que $a$ es un cuadrado perfecto

8 Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos impares que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m$ , siendo $m$ un entero positivo arbitrario. ¿Cuál es el menor entero $k$ tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros distintos, uno de los cuales divide al otro? Amir

5 Para todo entero $d \geq 1$ , sea $M_d$ el conjunto de todos los enteros positivos que no pueden escribirse como una suma de una progresión aritmética con diferencia $d$ , que tenga al menos dos términos y consista en enteros positivos. Sea $A = M_1$ , $B = M_2 \setminus \{2 \}, C = M_3$ . Demuestre que todo $c \in C$ puede escribirse de manera única como $c = ab$ con $a \in A, b \in B.$ Amir

2 Halle todas las funciones $f,g,h: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que $f(x) - g(y) = (x-y) \cdot h(x+y)$ para $x,y \in \mathbb{R}.$

6 Los números reales positivos $a, b$ son tales que $a^3 + b^3 = 2$ . Demuestre que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 2(a^2 - a + 1)(b^2 - b + 1)$ .

Halle todas las $n$ -adas de reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ que satisfacen el sistema: $$\begin{cases}x_1x_2\cdots x_n=1\\x_1-x_2x_3\cdots x_n=1\\x_1x_2-x_3x_4\cdots x_n=1\\\vdots\\x_1x_2\cdots x_{n-1}-x_n=1\end{cases}$$

3 $p$ es un número primo impar. Demuestre que existe un número natural $x$ tal que $x$ y $4x$ son ambos raíces primitivas módulo $p$ . Propuesto por Mohammad Gharakhani