4 La imagen que se muestra a continuación es una cruz de longitud 2. Si una cruz tiene longitud $k$ , se llama una $k$ - cruz. (Cada $k$ - cruz tiene $6k+1$ cuadrados.) Invalid image file a) Demuestre que el espacio puede ser embaldosado con $1$ - cruces. b) Demuestre que el espacio puede ser embaldosado con $2$ - cruces. c) Demuestre que para $k\geq5$ el espacio no puede ser embaldosado con $k$ - cruces. Omid

5 Una regla de cálculo es una regla para hacer cálculos algebraicos. Esta regla tiene tres brazos, dos de ellos están fijos y uno puede moverse libremente a la derecha y a la izquierda. Cada uno de los brazos tiene una graduación. La graduación de cada brazo depende de la operación algebraica que realiza la regla. Por ejemplo, la regla de abajo está diseñada para multiplicar dos números. Las graduaciones son logarítmicas. Invalid image file Para trabajar con la regla (por ejemplo, para calcular $x.y$ ) debemos mover el brazo del medio de modo que la flecha al comienzo de su graduación se ubique sobre la $x$ en el brazo inferior. Encontramos $y$ en el brazo del medio, y leemos el número en el brazo superior. El número escrito en la regla es la respuesta. 1) Diseñe una regla para calcular $x^{y}$ . Gradúe el primer brazo ( $x$ ) y ( $y$ ) de 1 a 10. 2) Halle todas las reglas que realizan la multiplicación en el intervalo $[1,10]$ . 3) Demuestre que no existe una regla para calcular $x^{2}+xy+y^{2}$ cuyos primer y segundo brazo estén graduados de 0 a 10. Omid

6 Suponga que $C$ es un subconjunto convexo de $\mathbb R^{d}$ . Suponga que $C_{1},C_{2},\dots,C_{n}$ son traslaciones de $C$ tales que $C_{i}\cap C\neq\emptyset$ pero $C_{i}\cap C_{j}=\emptyset$ . Demuestre que \[n\leq 3^{d}-1\] Demuestre que $3^{d}-1$ es la mejor cota. P.D. En el examen el problema fue dado para $n=3$ . Omid

7 Tenemos un número finito de figuras distintas en el plano. Un " convex Kearting " de estas figuras es cubrir el plano con conjuntos convexos, tal que cada conjunto contenga exactamente una de las figuras y los conjuntos se intersequen a lo sumo en la frontera. Invalid image file ¿En qué casos es posible el convex Kearting? 1) Puntos distintos finitos 2) Segmentos distintos finitos 3) Círculos distintos finitos Omid

8 Por un triángulo en $\mathbb Q^{n}$ entendemos 3 puntos no colineales en $\mathbb Q^{n}$ . a) Suponga que $ABC$ es un triángulo en $\mathbb Q^{n}$ . Demuestre que existe un triángulo $A'B'C'$ en $\mathbb Q^{5}$ tal que $\angle B'A'C'=\angle BAC$ . b) Halle un número natural $m$ tal que todo triángulo que pueda ser embebido en $\mathbb Q^{n}$ pueda ser embebido en $\mathbb Q^{m}$ . c) Halle un triángulo que pueda ser embebido en $\mathbb Q^{n}$ y tal que ningún triángulo semejante a él pueda ser embebido en $\mathbb Q^{3}$ . d) Halle un número natural $m'$ tal que para todo triángulo que pueda ser embebido en $\mathbb Q^{n}$ exista un triángulo semejante a él que pueda ser embebido en $\mathbb Q^{m}$ . Debe demostrar el problema para $m=9$ y $m'=6$ para obtener la calificación completa. (Mejores resultados conducen a una calificación adicional.) Omid

1 Suponga que $a,b,c\in \mathbb R^+$ . Demuestre que: \[\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca\right)^2\geq (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\] Omid

1 Desde cada vértice del triángulo $ABC$ trazamos 3 rectas paralelas arbitrarias, y desde cada vértice trazamos una perpendicular a estas rectas. Hay 3 rectángulos tales que una de sus diagonales es un lado del triángulo. Trazamos sus otras diagonales y las llamamos $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_3$ . a) Demuestre que $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_3$ son concurrentes en un punto $P$ . b) Halle el lugar geométrico de $P$ a medida que movemos las 3 rectas arbitrarias. Omid

2 Suponga que $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ . Suponga que $\frac{S(OAB)+S(OAC)}2=S(OBC)$ . Demuestre que la distancia de $O$ (circuncentro) al eje radical de la circunferencia circunscrita y la circunferencia de los nueve puntos es \[\frac {a^2}{\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}}\] Omid

3 Demuestre que en un triángulo acutángulo ABC, si $r$ es el inradio y $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita, entonces: \[a^2+b^2+c^2\geq 4(R+r)^2\] Omid

4 Suponga que en el triángulo $ABC$ la circunferencia inscrita toca el lado $BC$ en $P$ y $\angle APB=\alpha$ . Demuestre que: \[\frac1{p-b}-\frac1{p-c}=\frac2{rtg\alpha}\] redacción correcta según los comentarios