Se dan los enteros $n$ y $k$, con $n\ge k\ge2$. Juegas el siguiente juego contra un mago malvado. El mago tiene $2n$ cartas; para cada $i=1,\ldots,n$, hay dos cartas etiquetadas con $i$. Inicialmente, el mago coloca todas las cartas boca abajo en una fila, en orden desconocido. Puedes hacer movimientos repetidamente de la siguiente forma: señalas cualesquiera $k$ de las cartas. El mago entonces voltea esas cartas boca arriba. Si dos de las cartas coinciden, el juego termina y ganas. Si no, debes mirar hacia otro lado, mientras el mago permuta arbitrariamente las $k$ cartas elegidas y luego las vuelve a poner boca abajo. Entonces, es tu turno de nuevo. Decimos que este juego es ganable si existen algún entero positivo $m$ y alguna estrategia que garantice ganar en a lo más $m$ movimientos, sin importar cómo responda el mago. ¿Para qué valores de $n$ y $k$ es ganable el juego?

2 Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero de lado 1. Sean $D,E,F$ puntos sobre $BC,AC,AB$ respectivamente, tales que $\frac{DE}{20} = \frac{EF}{22} = \frac{FD}{38}$ . Sean $X,Y,Z$ sobre las rectas $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $XY\perp DE, YZ\perp EF, ZX\perp FD$ . Halle todos los valores posibles de $\frac{1}{[DEF]} + \frac{1}{[XYZ]}$ .

25 Sean $ X,Y,Z$ los puntos medios de los arcos menores $ BC,CA,AB$ respectivamente (arcos de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ ) . $ M$ es un punto arbitrario sobre $ BC$ , y las paralelas trazadas por $ M$ a las bisectrices interiores de $ \angle B,\angle C$ cortan a las bisectrices exteriores de $ \angle C,\angle B$ en $ N,P$ respectivamente. Muestre que $ XM,YN,ZP$ son concurrentes.

$\mathcal F\subseteq \bigcup_{j=k+1}^{n}X^{(j)}$$|X|=n$$\mathcal F$$H_k$$\sum_{B\in \mathcal F}\frac{1}{\dbinom{n-1}{|B|-1}}\le 1$

Se da una tabla de dimensiones $n \times n$ , donde $n \ge 2$ . Cada una de sus casillas está coloreada de rojo o de azul. A cada casilla de la tabla le asignamos un par ordenado $(a,b)$ , donde $a$ es el número de casillas de su misma fila que tienen el mismo color que ella, y $b$ es el número de casillas de su misma columna que tienen el mismo color que ella (en ambos casos la casilla misma está incluida en el conteo). ¿Para qué valores de $n$ es posible colorear la tabla de modo que todas las casillas de la tabla reciban pares ordenados distintos? Nota: Dos pares ordenados $(x,y)$ y $(x',y')$ se dicen diferentes si $x \ne x'$ o $y \ne y'$ .

1 Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son acutángulas. Tome un punto $X$ en el interior del segmento $AB$ , y análogamente $Y$ en $BC, Z$ en $CD$ y $T$ en $AD$ . a.) Si $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$ , entonces demuestre que ninguno de los caminos cerrados $XYZTX$ tiene longitud mínima; b.) Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$ , entonces hay infinitos caminos más cortos $XYZTX$ , cada uno con longitud $2AC\sin k$ , donde $2k=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$ .

2 En el tetraedro $ABCD,\angle BDC=90^o$ y el pie de la perpendicular trazada desde $D$ al plano $ABC$ es la intersección de las alturas de $ABC$ . Demuestre que: \[ (AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2). \] ¿Cuándo tenemos igualdad?

28 $(GBR 5)$ Definamos $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Expresa $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b$. Demuestra el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestra que $b$ divide a $a(u_b -1)$.

26 $(GBR 3)$ Un sólido liso consiste en un cilindro circular recto de altura $h$ y radio de la base $r$, coronado por un hemisferio de radio $r$ y centro $O$. El sólido se apoya sobre una mesa horizontal. Un extremo de una cuerda está unido a un punto de la base. La cuerda se estira (inicialmente mantenida en el plano vertical) sobre el punto más alto del sólido y se sujeta hacia abajo en el punto $P$ del hemisferio tal que $OP$ forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Demuestra que si $\alpha$ es suficientemente pequeño, la cuerda se aflojará si se desplaza ligeramente y ya no permanecerá en un plano vertical. Si luego se tensa a través de $P$, demuestra que cruzará la sección circular común del hemisferio y el cilindro en un punto $Q$ tal que $\angle SOQ = \phi$, donde $S$ es el punto donde inicialmente cruzaba esta sección, y $\sin \phi = \frac{r \tan \alpha}{h}$.

Sean $a,b,c\in\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}$ tales que $|a|=|b|=|c|$ y $A=a+b+c$ y $B=abc$ son ambos números reales. Demuestre que $ C_n=a^n+b^n+c^n$ es también un número real $,$ $(\forall)n\in\mathbb{N}.$