1 Sea $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión con $a_1=1$ , $a_2=4$ y para todo $n>1$ , \[ a_{n} = \sqrt{ a_{n-1}a_{n+1} + 1 } . \] a) Demuestre que todos los términos de la sucesión son enteros positivos. b) Demuestre que $2a_na_{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$ . Valentin Vornicu Valentin

3 Sea $n>1$ un entero. Un conjunto $S \subset \{ 0,1,2, \ldots, 4n-1\}$ se llama raro si, para cualquier $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ , las siguientes dos condiciones se cumplen al mismo tiempo (1) el conjunto $S\cap \{4k-2,4k-1,4k, 4k+1, 4k+2 \}$ tiene a lo sumo dos elementos; (2) el conjunto $S\cap \{4k+1,4k+2,4k+3\}$ tiene a lo sumo un elemento. Demuestre que el conjunto $\{0,1,2,\ldots,4n-1\}$ tiene exactamente $8 \cdot 7^{n-1}$ subconjuntos raros. Valentin

4 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$ . Demuestre que: \[ \frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac 1{c^2} \geq a^2+b^2+c^2. \]

1 Sea $n$ un entero positivo de la forma $4k+1$ , $k\in \mathbb N$ y $A = \{ a^2 + nb^2 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ . Demuestre que existen enteros $x,y$ tales que $x^n+y^n \in A$ y $x+y \notin A$ . Valentin

4 Sean $p$ , $q$ dos enteros, $q\geq p\geq 0$ . Sea $n \geq 2$ un entero y sean $a_0=0, a_1 \geq 0, a_2, \ldots, a_{n-1},a_n = 1$ números reales tales que \[ a_{k} \leq \frac{ a_{k-1} + a_{k+1} } 2 , \ \forall \ k=1,2,\ldots, n-1 . \] Demuestre que \[ (p+1) \sum_{k=1}^{n-1} a_k^p \geq (q+1) \sum_{k=1}^{n-1} a_k^q . \] Valentin

2 Halle todos los enteros no negativos $m,n,p,q$ tales que \[ p^mq^n = (p+q)^2 +1 . \] Valentin

3 Sea $P$ un polígono (no necesariamente convexo) con $n$ vértices, tal que todos sus lados y diagonales tienen longitud menor o igual que 1. Demuestre que el área del polígono es menor que $\dfrac {\sqrt 3} 2$ . Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$ , $E$ , $F$ tres puntos sobre los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente, tales que los inradios de los triángulos $AEF$ , $BDF$ y $CDE$ son iguales a la mitad del inradio del triángulo $ABC$ . Demuestre que $D$ , $E$ , $F$ son los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ . Valentin

3 Demuestre que si la distancia desde un punto interior de un poliedro convexo con $n$ caras a los vértices del poliedro es a lo sumo 1, entonces la suma de las distancias desde este punto a las caras del poliedro es menor que $n-2$ . Calin Popescu Valentin

1 Demuestre que en cualquier polígono convexo con $4n+2$ lados ( $n\geq 1$ ) existen dos lados consecutivos que forman un triángulo de área a lo sumo $\frac 1{6n}$ del área del polígono. Valentin