g10.2.1 Sea $P$ un punto exterior a una circunferencia $\omega$. Las tangentes desde $P$ a $\omega$ se trazan tocando a $\omega$ en los puntos $A$ y $B$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AP$ y $AB$, respectivamente. La recta $MN$ se prolonga hasta cortar a $\omega$ en $C$ de modo que $N$ quede entre $M$ y $C$. La recta $PC$ interseca a $\omega$ nuevamente en $D$, y las rectas $ND$ y $PB$ se intersecan en $O$. Demuestra que $MNOP$ es un rombo.

2009 TMO

Punto $O$ es el centro del círculo con cuerdas $AB$, $CD$, $EF$ de longitudes $2, 3, 4$ unidades, respectivamente, vistas desde el ángulo en el punto $O$ con ángulos $\alpha$, $\beta$, $\alpha + \beta$ respectivamente. Si $\alpha + \beta$ es menor que $180$ grados, encuentra la longitud del radio del círculo.

g2.1.2 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^o$ y $\angle ABC = 60^o$. Se elige un punto $E$ sobre el lado $BC$ de modo que $BE : EC = 3 : 2$. Calcula $\cos\angle CAE$.

2008 TMO

g6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero con diagonales perpendiculares y $\angle B=\angle D=90^o$. Sea la circunferencia de centro $O$ inscrita en el cuadrilátero $ABCD$, con $M$ y $N$ los puntos de tangencia con los lados $AB$ y $BC$ respectivamente. Sea $C$ el centro de una circunferencia tangente a $AB$ y $AD$ en los puntos $B$ y $D$ respectivamente. Sobre las prolongaciones de $AB$ y $AD$ más allá de $B$ y $D$, se encuentran los puntos $B'$ y $D'$ respectivamente, tales que el cuadrilátero $AB'C'D'$ es semejante al cuadrilátero $ABCD$ y tiene como circunferencia inscrita la circunferencia de centro $C$. En un cuadrilátero $AB'C'D'$, $N'$ es el punto de tangencia de su circunferencia inscrita con el lado $BC$. Si $MN'$ es paralelo a $AC'$, ¿cuál es la razón de $AB$ a $BC$, cuando $AB$ es más largo que $BC$?

g8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$. El punto $D$ está sobre el segmento $BC$, distinto de $C$, tal que $AC=AD$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. $A'$ y $B'$ son los pies de las alturas trazadas desde los puntos $A$ y $B$, respectivamente. Sea la recta $DH$ que interseca a $AC$ y a $A'B'$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente, y el punto $G$ es la intersección de las rectas $AF$ y $BH$. Demuestra que $CE=DT$ donde $T$ es la intersección de $GE$ y $AD$.

2011 TMO

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ y altura $BD$. Si $CD: AD = 1: 2$, demuestra que $BC^2 = \frac23 AC^2$.

g2 Sea $ABC$ un triángulo con puntos $D, E$ y $F$ en los segmentos $AB, AC$ y $BC$ respectivamente, tales que $BFED$ es un paralelogramo. Los puntos $H, G$ están en las extensiones de $DE$ y $DF$ más allá de $E$ y $F$ respectivamente, tales que $HE: GE: FE = 1: 5: 8$, $HG = GF$ y $\angle BDF = \angle DHG$. Encuentra la razón $HE: HG$.