2 Sean $x, y,$ y $z$ números reales positivos tales que $xy + yz + zx = 27$ . Demuestre que $x + y + z \ge \sqrt{3xyz}$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

5 Un $2018$ -ágono regular está inscrito en un círculo. Los números $1, 2, ..., 2018$ se colocan en los vértices del $2018$ -ágono, con un número en cada vértice, de modo que la suma de cualesquiera $2$ números vecinos ( $2$ números son vecinos si los vértices en los que están se encuentran sobre un lado del polígono) es igual a la suma de los $2$ números que están en los antípodas de esos $2$ vértices (con respecto al círculo dado). Determine el número de ordenaciones diferentes de los números. (Dos ordenaciones son idénticas si se puede pasar de una a la otra rotando alrededor del centro del círculo).

1 Determine todos los enteros positivos $n>2$ , tales que $n = a^3 + b^3$ , donde $a$ es el divisor positivo más pequeño de $n$ mayor que $1$ y $b$ es un divisor positivo arbitrario de $n$ .

5 Sea $T$ un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras, tal que cada lado de $T$ contiene exactamente $m$ puntos con coordenadas enteras. Si el área de $T$ es menor que $2020$ , determine el mayor valor posible de $m$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con base $AC$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen sobre los lados $AC$ y $BC$ , respectivamente, tales que $CD = DE$ . Sean $H, J,$ y $K$ los puntos medios de $DE, AE,$ y $BD$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $DHK$ interseca a $AD$ en el punto $F$ , mientras que la circunferencia circunscrita del triángulo $HEJ$ interseca a $BE$ en $G$ . La recta que pasa por $K$ paralela a $AC$ interseca a $AB$ en $I$ . Sea $IH \cap GF =$ { $M$ } . Demuestre que $J, M,$ y $K$ son puntos colineales.

1 Demuestre que $\frac{1}{1\times2013}+\frac{1}{2\times2012}+\frac{1}{3\times2011}+...+\frac{1}{2012\times2}+\frac{1}{2013\times1}<1$

2 El punto $M$ es un punto arbitrario del plano y sean $G$ y $H$ los puntos de intersección de las tangentes trazadas desde el punto $M$ con el círculo $k$ . Sea $O$ el centro del círculo $k$ y sea $K$ el ortocentro del triángulo $MGH$ . Demuestre que ${\angle}GMH={\angle}OGK$ .

3 Halle todos los enteros positivos $n$ que son divisibles por 11 y satisfacen la siguiente condición: todos los números que se generan mediante una reordenación arbitraria de los dígitos de $n$ también son divisibles por 11.

4 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $E$ es la intersección de $AB$ y $CD$ , $F$ es la intersección de $AD$ y $BC$ y $G$ es la intersección de $AC$ y $EF$ . Demuestre que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: $(i)$ $BD$ y $EF$ son paralelas. $(ii)$ $G$ es el punto medio de $EF$ .

1 Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del número natural $n{}$ . ¿Existe un número natural $n{}$ para el cual $n+S(n)+S(S(n))=2011?$