1 Si $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\ldots$ , $a_{n}\geq 0$ son tales que \[a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}=1,\] entonces halle el valor máximo del producto $(1-a_{1})\cdots (1-a_{n})$ .

2 Sea $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ una función tal que \[|f(x)-f(y)|\leq (x-y)^{2}\] para todo $x,y \in\mathbb{Q}$ . Demuestre que $f$ es constante.

3 Sea $A_{1}A_{2}\ldots A_{2n}$ un polígono convexo y sea $P$ un punto de su interior tal que no se encuentra sobre ninguna de las diagonales del polígono. Demuestre que existe un lado del polígono tal que ninguna de las rectas $PA_{1}$ , $\ldots$ , $PA_{2n}$ lo interseca en su interior.

4 Sean $\mathcal O_{1}$ y $\mathcal O_{2}$ dos circunferencias exteriores. Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos sobre $\mathcal O_{1}$ y $D$ , $E$ , $F$ puntos sobre $\mathcal O_{1}$ tales que $AD$ y $BE$ son las tangentes exteriores comunes a estas dos circunferencias y $CF$ es una de las tangentes interiores a estas dos circunferencias, y tales que $C$ , $F$ están en el interior del cuadrilátero $ABED$ . Si $CO_{1}\cap AB=\{M\}$ y $FO_{2}\cap DE=\{N\}$ entonces demuestre que $MN$ pasa por el punto medio de $CF$ .

1 Sea \[f = X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_{0}\] un polinomio entero de grado $n \geq 3$ tal que $a_{k}+a_{n-k}$ es par para todo $k \in \overline{1,n-1}$ y $a_{0}$ es par. Suponga que $f = gh$ , donde $g,h$ son polinomios enteros y $\deg g \leq \deg h$ y todos los coeficientes de $h$ son impares. Demuestre que $f$ tiene una raíz entera.

1 Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones $f : \mathcal{P}(S) \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $X, Y \subseteq S$ , tenemos $f(X \cap Y) = \min (f(X), f(Y))$ , donde $S$ es un conjunto finito (y $\mathcal{P}(S)$ es el conjunto de sus subconjuntos). Halle \[\max_{f \in \mathcal{F}}| \textrm{Im}(f) |. \] Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo, $E$ y $F$ los puntos donde la circunferencia inscrita y la circunferencia exinscrita relativa a $A$ tocan a $AB$ , y $D$ el punto sobre $BC$ tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen inradios iguales. Las rectas $DB$ y $DE$ intersecan nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ADF$ en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $XY\parallel AB$ si y solo si $AB=AC$ .

3 Halle todos los subconjuntos $A$ de $\left\{ 1, 2, 3, 4, \ldots \right\}$ , con $|A| \geq 2$ , tales que para todo $x,y \in A, \, x \neq y$ , tenemos que $\frac{x+y}{\gcd (x,y)}\in A$ . Dan Schwarz

2 Demuestre que para $n, p$ enteros, $n \geq 4$ y $p \geq 4$ , la proposición $\mathcal{P}(n, p)$ \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_{i}}^{p}}\geq \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\quad \textrm{for}\quad x_{i}\in \mathbb{R}, \quad x_{i}> 0 , \quad i=1,\ldots,n \ ,\quad \sum_{i=1}^{n}x_{i}= n,\] es falsa. Dan Schwarz Observación En la competencia, se informó a los estudiantes (hecho que en realidad no se relaciona con la solución del problema) que las proposiciones $\mathcal{P}(4, 3)$ son $\mathcal{P}(3, 4)$ verdaderas. Valentin

6 Los puntos $M$ y $N$ están marcados sobre la recta que contiene al lado $AC$ del triángulo $ABC$ de modo que $MA = AB$ y $NC = CB$ (el orden de los puntos sobre la recta: $M, A, C, N$ ) . Demuestre que el centro del círculo inscrito en el triángulo $ABC$ se encuentra sobre la cuerda común de los círculos circunscritos a los triángulos $MCB$ y $NAB$ .