C4 Sea $n\ge 1$ un entero positivo. Un cuadrado de lado $n$ está dividido por rectas paralelas a cada lado en $n^2$ cuadrados de lado $1$ . Halle el número de paralelogramos cuyos vértices están entre los vértices de los $n^2$ cuadrados de lado $1$ , con ambos lados menores o iguales que $2$ , y que tienen área igual a $2$ . (Grecia)

3 Sea ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ un círculo con centro ${O}$ y radio ${R}$ y sean ${A, B}$ dos puntos sobre él, que no pertenecen al mismo diámetro. La bisectriz del ángulo ${\angle{ABO}}$ interseca al círculo ${c}$ en el punto ${C}$ , a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOB$ , digamos ${c_1}$ , en el punto ${K}$ , y a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOC$ , digamos ${{c}_{2}}$ , en el punto ${L}$ . Demuestre que el punto ${K}$ pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOC$ y que el punto ${L}$ es el incentro del triángulo $AOB$ . Evangelos Psychas (Grecia)

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ${AB\neq AC}$ . La circunferencia inscrita ${\omega}$ del triángulo toca a los lados ${BC, CA}$ y ${AB}$ en ${D, E}$ y ${F}$ , respectivamente. La recta perpendicular trazada en ${C}$ a ${BC}$ corta a ${EF}$ en ${M}$ , y análogamente la recta perpendicular trazada en ${B}$ a ${BC}$ corta a ${EF}$ en ${N}$ . La recta ${DM}$ corta nuevamente a ${\omega}$ en ${P}$ , y la recta ${DN}$ corta nuevamente a ${\omega}$ en ${Q}$ . Demuestre que ${DP=DQ}$ . Ruben Dario & Leo Giugiuc (Rumania)

3 Encuentra todos los enteros positivos $k<202$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $$\bigg {\{}\frac{n}{202}\bigg {\}}+\bigg {\{}\frac{2n}{202}\bigg {\}}+\cdots +\bigg {\{}\frac{kn}{202}\bigg {\}}=\frac{k}{2}$$

5 Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Determina el valor mínimo de $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ y determina todos los valores de $(a,b,c,d)$ para los cuales se alcanza el valor mínimo.

Halle todas las soluciones reales de la ecuación $(x^2-9x+19)^{x^2-3x+2} = 1$ .

10 Sea $S=\{0,1,2,\ldots,8\}$. ¿Cuántas funciones $f:S\rightarrow S$ satisfacen la siguiente condición: para todos $x,y,z\in S$, si $x+y-z$ es divisible por $9$, entonces $f(x)f(y)-f(f(z))$ también es divisible por $9$?

3 Dos círculos $(O_1,R_1)$, $(O_2,R_2)$ son exteriores entre sí. Halle: a) la longitud mínima del segmento que une puntos de los círculos b) la longitud máxima del segmento que une puntos de los círculos.

4 Un conjunto $A$ de enteros se llama *sum-completo* si $A \subseteq A + A$, es decir, cada elemento $a \in A$ es la suma de algún par de elementos (no necesariamente distintos) $b, c \in A$. Un conjunto $A$ de enteros se dice *libre de suma cero* si $0$ es el único entero que no puede expresarse como la suma de los elementos de un subconjunto finito no vacío de $A$. ¿Existe un conjunto de enteros que sea sum-completo y libre de suma cero? Rumania (Dan Schwarz)

3 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Se selecciona un punto variable $P$ en el segmento $AM$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BPM$ y $CPM$ intersecan a $\Gamma$ nuevamente en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $DP$ y $EP$ intersecan (por segunda vez) a las circunferencias circunscritas de los triángulos $CPM$ y $BPM$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Demuestra que, al variar $P$, la circunferencia circunscrita de $\triangle AXY$ pasa por un punto fijo $T$ distinto de $A$.