5 Considere tres circunferencias $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$ , con centros $O_1$ , $O_2$ y $O_3$ , respectivamente, tales que cada par de circunferencias es tangente exteriormente. Suponga que tenemos otra circunferencia $\Gamma$ con centro $O$ en el segmento de recta $O_1O_3$ tal que $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$ son cada una tangentes interiormente a $\Gamma$ . Muestre que $\angle O_1O_2O_3$ mide menos de $90^\circ$ .

6 Sea $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ una función que satisface \[ f(mn) = mf(n) + nf(m)\] para todos los enteros positivos $m,n$ y $f(2024)=10120$ . Demuestre que existen dos enteros $m,n$ con $m\ne n$ tales que $f(m)=f(n)$ .

1 Demuestre que para cualquier número natural $n$ existen $n$ números naturales distintos cuyo producto es un cubo perfecto y cuya suma es un cuadrado perfecto.

5 Demuestre que para todos los números reales $x, y, z\geqslant0$ se cumple la desigualdad \[\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3} \geqslant xyz+\frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|\] .

Supongamos que la función $h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ tiene derivadas parciales continuas y satisface la ecuación \[h(x,y)=a\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)+b\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)\] para algunas constantes $a,b.$ Demuestra que si existe una constante $M$ tal que $|h(x,y)|\le M$ para todo $(x,y)$ en $\mathbb{R}^2,$ entonces $h$ es idénticamente cero. Kent

A4 Demuestra que para cada entero positivo $n,$ el número $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$ no es primo.

B3 Hay 2010 cajas etiquetadas como $B_1,B_2,\dots,B_{2010},$ y se han distribuido $2010n$ bolas entre ellas, para algún entero positivo $n.$ Puedes redistribuir las bolas mediante una secuencia de movimientos, cada uno de los cuales consiste en elegir un $i$ y mover exactamente $i$ bolas de la caja $B_i$ a cualquier otra caja. ¿Para qué valores de $n$ es posible alcanzar la distribución con exactamente $n$ bolas en cada caja, sin importar la distribución inicial de las bolas? Kent

B4 Encuentra todos los pares de polinomios $p(x)$ y $q(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[p(x)q(x+1)-p(x+1)q(x)=1.\]

A6 Sea $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua estrictamente decreciente tal que $\lim_{x\to\infty}f(x)=0.$ Demuestra que $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx$ diverge.

Dado que $A,B$ y $C$ son puntos no colineales en el plano con coordenadas enteras tales que las distancias $AB, AC$ y $BC$ son enteras, ¿cuál es el menor valor posible de $AB$? Kent