. Describa todos los triángulos $ABC$ para los cuales se cumple la igualdad $AB+CK=AC+BL$ , donde $CK$ y $BL$ son las alturas del triángulo $ABC$ . P2. En un concurso de matemáticas en el que se ofrecen $4$ problemas, participan $25$ estudiantes. Cada problema solo se puntúa como resuelto o no resuelto (no se consideran las soluciones parciales). Demuestre que o bien existen $4$ participantes que resolvieron exactamente el mismo conjunto de problemas (posiblemente los cuatro no resolvieron ninguno de los problemas), o bien existen $2$ participantes tales que cada uno de ellos resolvió exactamente los problemas que el otro no resolvió. P3. Halle todos los pares de números primos $p$ y $q$ para los cuales $0<\left|\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right|<\frac{4}{\sqrt{pq}}$ . P4. Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$ . Demuestre que se cumple la desigualdad $abc\leqslant(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)^2$ . P5. Defina $s=1!(1^{2}+1+1)+2!(2^{2}+2+1)+\ldots+2011!(2011^{2}+2011+1)$ . Halle el valor de $\frac{s+1}{2012!}$ . P6. Todos los números de siete cifras cuya representación decimal contiene cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ exactamente una vez se numeran en orden creciente (el número $1234567$ tiene índice $1$ ) . ¿Qué índice tiene el número $3654721$ ?

Los puntos $X$ e $Y$ se eligen en el interior de un triángulo acutángulo $ABC$ de modo que: $$\angle AXB = \angle CYB = 180^\circ - \angle ABC, \text{ } \angle ABX = \angle CBY$$ Demuestre que los puntos $X$ e $Y$ son equidistantes del centro de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Propuesto por Anton Trygub

14 Un soldado necesita verificar si hay minas en el interior o en los lados de un triángulo equilátero $ABC.$ Su detector puede detectar una mina a una distancia máxima igual a la mitad de la altura del triángulo. El soldado parte desde uno de los vértices del triángulo. ¿Cuál es la distancia mínima que necesita recorrer para que al final de ella esté seguro de haber completado con éxito su misión?

4 Para enteros positivos $p$ , $q$ y $r$ se nos dan $p \cdot q \cdot r$ cubos unitarios. Perforamos un agujero a lo largo de la diagonal espacial de cada uno de estos cubos y luego los ensartamos en un hilo muy delgado de longitud $p \cdot q \cdot r \cdot \sqrt{3}$ como un collar de perlas. Ahora queremos construir un cuboide de longitudes de lado $p$ , $q$ y $r$ a partir de los cubos, sin romper el hilo. a) ¿Para qué números $p$ , $q$ y $r$ es esto posible? b) ¿Para qué números $p$ , $q$ y $r$ es esto posible de modo que ambos extremos del hilo coincidan?

2 Demuestra que los cuadrados con lados $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots$ pueden colocarse dentro del cuadrado de lado $\frac{3}{2} $ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan ningún punto interior en común. Amir

15 Demuestra que para todo $n \in \mathbb N$ se cumple lo siguiente: \[2^n \prod_{k=1}^n \sin \frac{k \pi}{2n+1} = \sqrt{2n+1}\] Amir

9.1 Halle todos los reales $x, y$ que satisfacen $$(x+1)^2(y+1)^2=27xy$$ y $$(x^2+1)(y^2+1)=10xy.$$

17 $G$ es un conjunto de funciones no constantes $f$. Cada $f$ está definida en la recta real y tiene la forma $f(x)=ax+b$ para algunos reales $a,b$. Si $f$ y $g$ están en $G$, entonces también lo está $fg$, donde $fg$ se define por $fg(x)=f(g(x))$. Si $f$ está en $G$, entonces también lo está la inversa $f^{-1}$. Si $f(x)=ax+b$, entonces $f^{-1}(x)= \frac{x-b}{a}$. Cada $f$ en $G$ tiene un punto fijo (es decir, podemos encontrar $x_f$ tal que $f(x_f)=x_f$). Demuestra que todas las funciones en $G$ tienen un punto fijo común.

3 Sea $ABCD$ un paralelogramo cuyas diagonales se intersecan en $M$ . Suponga que la circunferencia circunscrita de $ABM$ interseca el segmento $AD$ en un punto $E \ne A$ y que la circunferencia circunscrita de $EMD$ interseca el segmento $BE$ en un punto $F \ne E$ . Demuestre que $\angle ACB=\angle DCF$ .

13 Encuentra la esfera de radio máximo que puede colocarse dentro de todo tetraedro que tenga todas sus alturas de longitud mayor o igual que $1.$ Amir