5 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{C} = 90^{\circ}$ , y sea $H$ el pie de la altura desde $C$ . Se elige un punto $D$ dentro del triángulo $CBH$ de modo que $CH$ biseca a $AD$ . Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $BD$ y $CH$ . Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $BD$ que corta al segmento $CB$ en un punto interior. Una recta que pasa por $P$ es tangente a $\omega$ en $Q$ . Demuestre que las rectas $CQ$ y $AD$ se cortan sobre $\omega$ .

6 En una empresa de personas, algunos pares son enemigos. Un grupo de personas se llama insociable si el número de miembros del grupo es impar y al menos $3$ , y es posible sentar a todos sus miembros alrededor de una mesa redonda de modo que cada dos vecinos sean enemigos. Dado que hay a lo sumo $2015$ grupos insociables, demuestre que es posible particionar la empresa en $11$ partes de modo que no haya dos enemigos en la misma parte. Propuesto por Russia

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ corta los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .

2 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=2$ . Demuestre que $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^2+1}{2}} \geq (3.\sum_{cyc} \sqrt{a}) -8$$

2 Halle todas las $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tales que: $$f(f(x)+yf(y))=x+|y|^2$$ para todo $x,y \in \mathbb{C}$

2007.1.3 Dado un triángulo $ABC$, que no es isósceles, en el cual se cumple que $|AC| < |BC|$. Denotemos por $K$ la circunferencia circunscrita del triángulo. Sea $E$ la bisectriz del arco $AB$ que contiene al punto $C$. Sobre el segmento $BC$, hay un punto $D$ tal que se cumple $|BD| = |AC|$. La recta $DE$ interseca a la circunferencia $K$ en el punto $F$. Demuestra que los puntos $A, B, C$ y $F$ son vértices de un trapecio isósceles.

3 Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en el que se turnan para elegir enteros positivos $k \le n$ . Las reglas del juego son: (i) Un jugador no puede elegir un número que ya haya sido elegido por cualquiera de los jugadores en un turno anterior. (ii) Un jugador no puede elegir un número consecutivo a ninguno de los que el jugador ya ha elegido en un turno anterior. (iii) El juego es un empate si todos los números han sido elegidos; en caso contrario, el jugador que ya no puede elegir ningún número pierde el juego. El jugador $A$ realiza el primer turno. Determine el resultado del juego, suponiendo que ambos jugadores usan estrategias óptimas. Propuesto por Finland

4 Sea $ABC$ un triángulo con $CA \neq CB$ . Sean $D$ , $F$ y $G$ los puntos medios de los lados $AB$ , $AC$ y $BC$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $D$ corta los segmentos $AF$ y $BG$ en $H$ e $I$ , respectivamente. Los puntos $H'$ e $I'$ son simétricos a $H$ e $I$ con respecto a $F$ y $G$ , respectivamente. La recta $H'I'$ corta a $CD$ y $FG$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. La recta $CM$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $P$ . Demuestre que $CQ = QP$ . Propuesto por El Salvador

5 Sean $P$ y $P '$ dos polígonos regulares de $n-$ lados desiguales y $A$ y $A'$ dos puntos dentro de $P$ y $ P '$ , respectivamente.Suponga que $\{ d_1 , d_2 , \cdots d_n \}$ son las distancias desde $A $ a los vértices de $P$ y $\{ d'_1 , d'_2 , \cdots d'_n \}$ se definen de manera similar para $P',A'$ . ¿Es posible que $\{ d'_1 , d'_2 , \cdots d'_n \}$ sea una permutación de $\{ d_1 , d_2 , \cdots d_n \}$ ?

6 Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Para cualquier entero positivo $k$ , una función $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ se llama $k$ - buena si $\gcd(f(m) + n, f(n) + m) \le k$ para todos $m \neq n$ . Encuentre todos los $k$ tales que existe una función $k$ - buena. Propuesto por James Rickards, Canada