1 Se dan números reales $a,b,c,d$. Resuelve el sistema de ecuaciones (incógnitas $x,y,z,u)$ \[ x^{2}-yz-zu-yu=a\] \[ y^{2}-zu-ux-xz=b\] \[ z^{2}-ux-xy-yu=c\] \[ u^{2}-xy-yz-zx=d\]

5 $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Una circunferencia que pasa por $A,B$ es tangente al segmento $CD$ en el punto $E$. Otra circunferencia que pasa por $C,D$ es tangente a $AB$ en el punto $F$. El punto $G$ es el punto de intersección de $AE$ y $DF$, y el punto $H$ es el punto de intersección de $BE$ y $CF$. Demuestra que los incentros de los triángulos $AGF$, $BHF$, $CHE$, $DGE$ están sobre una circunferencia. Propuesto por Le Viet An (Vietnam)

3 Sea $ABCD$ un trapecio ( $AD//BC$ ) con $\angle A=\angle B= 90^o$ y $AD<BC$ . Sea $E$ el punto de intersección de los lados no paralelos $AB$ y $CD$ , sea $Z$ el punto simétrico de $A$ con respecto a la recta $BC$ y sea $M$ el punto medio de $EZ$ . Si se sabe que la recta $CM$ es perpendicular a la recta $DZ$ , entonces demuestre que la recta $ZC$ es perpendicular a la recta $EC$ .

4 Determine el número de 6-tuplas $(x_1, x_2,...,x_6)$ , donde $x_i=0,1 or 2$ y $x_1+x_2+...+x_6$ es par

5 Se da un triángulo arbitrario ABC. Hay 2 rectas, p y q, que no son paralelas entre sí y no son perpendiculares a los lados del triángulo. Las rectas perpendiculares trazadas por los puntos A, B y C a la recta p las denotamos con $ p_a, p_b, p_c $ y las rectas perpendiculares a la recta q las denotamos con $ q_a, q_b, q_c $ . Sean los puntos de intersección de las rectas $ p_a, q_a, p_b, q_b, p_c $ y $ q_c $ con $ q_b, p_b, q_c, p_c, q_a $ y $ p_a $ los puntos $ K, L, P, Q, N $ y $ M $ . Demuestre que $ KL, MN $ y $ PQ $ se intersecan en un solo punto.

A5 Sea $G$ un grupo, con operación $*$. Supón que (i) $G$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^3$ (pero $*$ no necesita estar relacionada con la suma de vectores); (ii) Para cada $\mathbf{a},\mathbf{b}\in G,$ se cumple que $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{a}*\mathbf{b}$ o $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ (o ambos), donde $\times$ es el producto cruz usual en $\mathbb{R}^3.$ Demuestra que $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ para todos $\mathbf{a},\mathbf{b}\in G.$ Kent

A6 Sea $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua estrictamente decreciente tal que $\lim_{x\to\infty}f(x)=0.$ Demuestra que $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx$ diverge.

B1 ¿Existe una sucesión infinita de números reales $a_1,a_2,a_3,\dots$ tal que \[a_1^m+a_2^m+a_3^m+\cdots=m\] para todo entero positivo $m?$ Kent

Dado que $A,B$ y $C$ son puntos no colineales en el plano con coordenadas enteras tales que las distancias $AB, AC$ y $BC$ son enteras, ¿cuál es el menor valor posible de $AB$? Kent

5 De un triángulo equilátero de lado 2014 se recorta otro triángulo equilátero de lado 214, de modo que ambos triángulos tienen un vértice común y dos de los lados del triángulo más pequeño están sobre dos de los lados del triángulo más grande. ¿Es posible cubrir esta figura con las figuras de la imagen sin superponerlas (se permite la rotación) si todas las figuras están hechas de triángulos equiláteros de lado 1? ¡Explique la respuesta! [asy] import olympiad; unitsize(20); pair A,B,C,D,E,F,G,H; A=(0,0); B=(1,0); C=rotate(60)*B; D=rotate(60)*C; E=rotate(60)*D; F=rotate(60)*E; G=rotate(60)*F; draw(A--B); draw(A--C); draw(A--D); draw(A--E); draw(A--F); draw(A--G); draw(B--C--D--E--F--G--B); A=(2,0); B=A+(1,0); C=A+rotate(60)*(B-A); D=A+rotate(60)*(C-A); E=A+rotate(120)*(D-A); F=A+rotate(60)*(E-A); G=2*F-E; H=2*C-D; draw(A--D--C--A--B--C--H--B--G--F--E--A--F--B); A=(4,0); B=A+(1,0); C=A+rotate(-60)*(B-A); D=B+rotate(60)*(C-B); E=B+rotate(60)*(D-B); F=B+rotate(60)*(E-B); G=E+rotate(60)*(D-E); H=E+rotate(60)*(G-E); draw(A--B--C--A); draw(C--D--B); draw(D--E--B); draw(B--F--E); draw(E--G--D); draw(E--H--G); A=(8.5,0.5); B=A+(1,0); C=A+rotate(60)*(B-A); D=A+rotate(60)*(C-A); E=A+rotate(60)*(D-A); F=A+rotate(60)*(E-A); G=A+rotate(60)*(F-A); H=G+rotate(60)*(F-G); draw(A--B); draw(A--C); draw(A--D); draw(A--E); draw(A--F); draw(A--G); draw(B--C); draw(D--E--F--G--B); draw(G--H--F);[/asy]