2 Halle todos los primos $p$ tales que existen enteros positivos $x,y$ que satisfacen $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$

Sea $BD$ una altura del $\triangle ABC$ con $AB < BC$ y $\angle B > 90^\circ$ . Sea $M$ el punto medio de $AC$ , y sea el punto $K$ simétrico al punto $D$ con respecto al punto $M$ . Una perpendicular trazada desde el punto $M$ a la recta $BC$ corta a la recta $AB$ en el punto $L$ . Demuestre que $\angle MBL = \angle MKL$ . Propuesto por Oleksandra Yakovenko

8 Los puntos $P_1,\dots,P_{1024}$, distintos dos a dos y situados en una circunferencia, están marcados con números reales distintos $a_1,\dots,a_{1024}$. Sea $P_i$ $Q-$bueno para un punto $Q$ de la circunferencia diferente de $P_1,\dots,P_{1024}$, si y solo si $a_i$ es el mayor número en al menos uno de los dos arcos $P_iQ$. Sea la puntuación de $Q$ el número de puntos $Q-$bueno en la circunferencia. Determine el mayor $k$ tal que, independientemente de los valores de $a_1,\dots,a_{1024}$, existe un punto $Q$ con puntuación al menos $k$.

2 Dado un entero fijo $k>0,r=k+0.5$ , defina $f^1(r)=f(r)=r[r],f^l(r)=f(f^{l-1}(r))(l>1)$ donde $[x]$ denota el menor entero no menor que $x$ . Demuestre que existe un entero $m$ tal que $f^m(r)$ es un entero.

1 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ , donde $\angle A<\angle B$ , y sean $M,N$ los puntos medios de los arcos menores $BC,AC$ de $\omega$ , respectivamente. La recta $PC$ es paralela a $MN$ e interseca a $\omega$ en $P$ (distinto de $C$ ) . Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sea $PI$ la recta que interseca a $\omega$ nuevamente en el punto $T$ . 1) Demuestre que $MP\cdot MT=NP\cdot NT$ ; 2) Sea $Q$ un punto arbitrario del arco menor $AB$ y sean $I,J$ los incentros de los triángulos $AQC,BCQ$ . Demuestre que $Q,I,J,T$ son concíclicos .

3 Sean $a_0, a_1, \ldots, a_9$ y $b_1 , b_2, \ldots,b_9$ enteros positivos tales que $a_9<b_9$ y $a_k \neq b_k, 1 \leq k \leq 8.$ En un cajero automático hay $n\geq a_9$ levas (moneda nacional de Bulgaria) y para cada $1 \leq i \leq 9$ podemos retirar $a_i$ levas del cajero (si en el banco hay al menos $a_i$ levas). Inmediatamente después de esa acción el banco deposita $b_i$ levas en el cajero o retiramos $a_0$ levas. Si retiramos $a_0$ levas del cajero, el banco no deposita dinero en el cajero. Halle todos los posibles valores enteros positivos de $n$ tales que después de un número finito de retiros de dinero del cajero no quede dinero en él. Amir

1 Dada una sucesión de longitud $2017$ que consiste en los primeros $2017$ enteros positivos en orden arbitrario (cada número aparece exactamente una vez). Consideremos el primer término de la sucesión; sea $k$. A partir de la sucesión dada formamos una nueva sucesión de longitud 2017, tal que los primeros $k$ elementos de la nueva sucesión son los mismos que los primeros $k$ elementos de la sucesión original, pero en orden inverso, mientras que los demás elementos permanecen sin cambios. Demuestre que si continuamos transformando la sucesión, eventualmente obtendremos una sucesión con primer elemento $1$.

4 bloques de patio que son hexágonos de $1$ unidad por lado se usan para delimitar un jardín colocando los bloques borde con borde con $n$ en cada lado. El diagrama indica el recorrido de los bloques alrededor del jardín cuando $n=5.$ [asy] size(250);int i,j; real r=sqrt(3); for(i=0; i<6; i=i+1) { for(j=0; j<4; j=j+1) { draw(shift(((j*r)*dir(60*i+150)).x, ((j*r)*dir(60*i+150)).y)*shift((4r*dir(60i+30)).x,(4r*dir(60i+30)).y)*polygon(6)); }}[/asy] Si $n=202,$ entonces el área del jardín encerrado por el recorrido, sin incluir el propio recorrido, es $m(\sqrt{3}/2)$ unidades cuadradas, donde $m$ es un entero positivo. Encuentra el residuo cuando $m$ se divide entre $1000.$

$ S$$ \mathbb R^2$$ p(x,y)\in\mathbb R[x,y]$\[ S = \{(x,y)\in\mathbb R^2|p(x,y) = 0\} \]

Define una estrella regular de $n$ puntas como la unión de $n$ segmentos de recta $P_1P_2, P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ tales que $\bullet$ los puntos $P_1, P_2,\ldots, P_n$ son coplanares y no hay tres de ellos colineales, $\bullet$ cada uno de los $n$ segmentos intersecta al menos a otro de los segmentos en un punto distinto de un extremo, $\bullet$ todos los ángulos en $P_1, P_2,\ldots, P_n$ son congruentes, $\bullet$ todos los $n$ segmentos $P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ son congruentes, y $\bullet$ el recorrido $P_1P_2, P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ gira en sentido contrario a las manecillas del reloj con un ángulo menor de 180 grados en cada vértice. No existen estrellas regulares de 3 puntas, 4 puntas ni 6 puntas. Todas las estrellas regulares de 5 puntas son semejantes, pero hay dos estrellas regulares de 7 puntas no semejantes. ¿Cuántas estrellas regulares de 1000 puntas no semejantes hay?