Considere una franja infinita, dividida en cuadrados unitarios. Se coloca un número finito de fichas en algunos de estos cuadrados. En un paso, elegimos un cuadrado $A$ que tiene más de una ficha, tomamos una de ellas y la ponemos en el cuadrado de la derecha, y tomamos otra ficha (de $A$ ) y la ponemos en el cuadrado de la izquierda. El procedimiento termina cuando todos los cuadrados tienen a lo sumo una ficha. Demuestre que, dada la configuración inicial, cualquier procedimiento que se tome terminará después del mismo número de pasos y con la misma configuración final.

Considere una matriz $N\times N$ , donde $N$ es un entero positivo impar, tal que todas sus entradas son $-1,0$ o $1$ . Considere la suma de los números en cada fila y cada columna. Demuestre que al menos dos de las $2N$ sumas son iguales.

Sea $D$ un punto sobre el lado $AC$ del triángulo $\triangle ABC$ tal que $AB=AD=DC$ , y sea $E$ un punto sobre el lado $BC$ tal que $BE=2CE$ . Demuestre que $\angle BDE = 90 ^{\circ}$ .

Anna quiere formar un número de cuatro cifras con cuatro dígitos distintos a partir de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Ella quiere que la primera cifra de ese número sea mayor que la suma de las otras tres cifras. ¿Cuántos números de este tipo puede formar?

Sobre el lado $AB$ del paralelogramo $ABCD$ tomamos los puntos $X$ y $Y$ tales que los puntos $A$ , $X$ , $Y$ y $B$ aparecen en ese orden. Las rectas $DX$ y $CY$ se intersecan en el punto $Z$ . Suponga que el área del triángulo $\triangle XYZ$ es igual a la suma de las áreas de los triángulos $\triangle AXD$ y $\triangle CYB$ . Demuestre que el área del cuadrilátero $XYCD$ es igual a $3$ veces el área del triángulo $\triangle XYZ$ .

Sean $x$ e $y$ números reales donde al menos uno de ellos es mayor que $2$ y se cumple $xy+4 > 2(x+y)$ . Demuestre que $xy>x+y$ .

Un subconjunto $S$ de los números naturales se llama denso si para cada $7$ números naturales consecutivos, al menos $5$ de ellos están en $S$ . Demuestre que existe un subconjunto denso para el cual la ecuación $a^2+b^2=c^2$ no tiene solución para $a,b,c \in S$ .

Cuando un número se divide entre $2$ , el cociente es $x$ y el residuo es $1$ . En cambio, cuando el mismo número se divide entre $3$ , el cociente es $y$ y el residuo es $2$ . ¿Cuál es el residuo cuando $x+y$ se divide entre $5$ ?

Halle todos los números naturales $n$ tales que $\frac{\sqrt{n}}{2}+\frac{10}{\sqrt{n}}$ es un número natural.

El pentágono $ABCDE$ de abajo es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un cuadrado y $BC=DE$ . ¿Cuál es la medida del ángulo $\angle AEC$ ?