2 Sea \(M\) el punto medio del lado \(BC\) del triángulo \(ABC\). La perpendicular en \(A\) a \(AM\) corta a \((ABC)\) en \(K\). Las alturas \(BE, CF\) del triángulo \(ABC\) cortan a \(AK\) en \(P, Q\). Demuestra que el eje radical de las circunferencias circunscritas de los triángulos \(PKE, QKF\) es perpendicular a \(BC\).

16 Una baraja de $2n$ cartas contiene $n$ pares diferentes de cartas. Cada par consta de dos cartas idénticas, cada una de las cuales se denomina la gemela de la otra. Se juega un juego entre dos jugadores $A$ y $B$ . Una tercera persona, llamada el repartidor, baraja la baraja y reparte las cartas una a una boca arriba sobre la mesa. Uno de los jugadores, llamado el receptor , toma la carta repartida, siempre que no tenga ya su gemela. Si ya tiene la gemela, su oponente toma la carta repartida y se convierte en el receptor. $A$ es inicialmente el receptor y toma la primera carta repartida. El jugador que primero obtiene un conjunto completo de $n$ cartas diferentes gana el juego. ¿Qué fracción de todos los arreglos posibles de la baraja conducen a que gane $A$ ? Demuestre la corrección de su respuesta.

52 Sea un número real $\lambda > 1$ dado y una sucesión $(n_k)$ de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k} > \lambda$ para $k = 1, 2, \ldots$ Demuestra que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse de más de $c$ maneras en la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

51 Sea \(ABC\) un triángulo arbitrario y sean \(S_1, S_2,\cdots, S_7\) circunferencias que satisfacen las siguientes condiciones: \(S_1\) es tangente a \(CA\) y \(AB\), \(S_2\) es tangente a \(S_1, AB\), y \(BC\), \(S_3\) es tangente a \(S_2, BC\), y \(CA\), .............................. \(S_7\) es tangente a \(S_6, CA\) y \(AB\). Demuestra que las circunferencias \(S_1\) y \(S_7\) coinciden.

59. Determina el valor máximo de $x^2 y^2 z^2 w$ para $\{x,y,z,w\}\in\mathbb{R}^{+} \cup\{0\}$ y $2x+xy+z+yzw=1$.

72 Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestra que si $f(x)=1979$ para cuatro valores enteros distintos de $x$, entonces $f(x)$ no puede ser igual a $2\times 1979$ para ningún valor entero de $x$.

32. Sea dado un ángulo agudo $\angle AOB = 3\alpha$, donde $\overline{OA}= \overline{OB}$. El punto $A$ es el centro de un círculo con radio $\overline{OA}$. Una recta $s$ paralela a $OA$ pasa por $B$. Dentro del ángulo dado se traza una recta variable $t$ por $O$. Esta corta al círculo en $O$ y $C$, y a la recta dada $s$ en $D$, donde $\angle AOC = x$. Partiendo de una posición arbitrariamente elegida $t_0$ de $t$, la serie $t_0, t_1, t_2, \ldots$ queda determinada definiendo $\overline{BD_{i+1}}=\overline{OC_i}$ para cada $i$ (donde $C_i$ y $D_i$ denotan las posiciones de $C$ y $D$, correspondientes a $t_i$). Haciendo uso de las representaciones gráficas de $BD$ y $OC$ como funciones de $x$, determina el comportamiento de $t_i$ para $i\to \infty$. Amir

33 Los vértices de un cuadrado dado se etiquetan en el sentido de las agujas del reloj como $A,B,C,D$. En el lado $AB$ se sitúa un punto $E$ tal que $AE = AB/3$. Partiendo de un punto arbitrariamente elegido $P_0$ en el segmento $AE$ y avanzando en el sentido de las agujas del reloj alrededor del perímetro del cuadrado, se marcan una serie de puntos $P_0, P_1, P_2, \ldots$ en el perímetro de modo que $P_iP_{i+1} = AB/3$ para cada $i$. Es claro que cuando $P_0$ se elige en $A$ o en $E$, entonces algún $P_i$ coincidirá con $P_0$. ¿Puede esto ocurrir también si $P_0$ se elige de otra manera?

En relación con un pentágono convexo $ABCDE$, consideramos el conjunto de diez circunferencias, cada una de las cuales contiene tres de los vértices del pentágono en su circunferencia. ¿Es posible que ninguna de estas circunferencias contenga al pentágono? Demuestra tu respuesta.

35. Encuentra, para cada valor de $n$, un conjunto de números $p$ para los cuales la siguiente afirmación sea verdadera: Cualquier $n$-ágono convexo puede dividirse en $p$ triángulos isósceles. Amir