A4 Sean $ a, b, c$ números reales positivos tales que $ abc = 1. $ Demuestra que: $$ 2 (a^ 2 + b^ 2 + c^ 2) \left (\frac 1 {a^ 2} + \frac 1{b^ 2}+ \frac 1{c^2}\right)\geq 3(a+ b + c + ab + bc + ca).$$

4 Considera un tablero de $2018 \times 2019$ con enteros en cada casilla unitaria. Se dice que dos casillas unitarias son vecinas si comparten una arista común. En cada turno, eliges algunas casillas unitarias. Luego, para cada casilla elegida se calcula el promedio de todos sus vecinos. Finalmente, después de que estos cálculos se realizan, el número en cada casilla elegida se reemplaza por el promedio correspondiente. ¿Es siempre posible hacer que los números en todas las casillas se vuelvan iguales después de un número finito de turnos?

5 Determina todas las funciones \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tales que \[ f(x^2 + f(y)) = f(f(x)) + f(y^2) + 2f(xy) \] para todos los números reales \( x \) y \( y \).

1 Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Determina todas las funciones $f : \mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que $a^2+f(a)f(b)$ es divisible por $f(a)+b$ para todos los enteros positivos $a,b$.

A1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = \frac {2} {3}. $ Demuestra que: $$\frac {ab}{a + b} + \frac {bc} {b + c} + \frac {ca} {c + a} \geqslant \frac {a+b+c} {a^3+b ^ 3 + c ^ 3}.$$

A2 Sea $q$ un número racional positivo. Dos hormigas están inicialmente en el mismo punto $X$ del plano. En el minuto $n$-ésimo ($n = 1,2,\ldots$) cada una elige si caminar hacia el norte, este, sur u oeste, y luego recorre una distancia de $q^n$ metros. Después de un número entero de minutos, están en el mismo punto del plano (no necesariamente $X$), pero no han tomado exactamente la misma ruta dentro de ese tiempo. Determina todos los valores posibles de $q$. Propuesto por Jeremy King, Reino Unido

C1 Sea $N$ un número impar, $N\geq 3$. $N$ jugadores de tenis participan en un campeonato. Antes de comenzar el campeonato, una comisión ordena a los jugadores en una fila según lo buenos que creen que son. Durante el campeonato, cada jugador juega contra cada otro jugador exactamente una vez, y cada partido tiene un ganador. Un partido se llama sorprendente si el ganador fue clasificado más bajo por la comisión. Al final del torneo, los jugadores se ordenan en una línea según el número de victorias que han logrado. En caso de empate, se usa el orden inicial de la comisión para decidir qué jugador quedará más arriba. Resulta que el orden final es exactamente el mismo que el orden inicial de la comisión. ¿Cuál es el número máximo de partidos sorprendentes que pudieron haber ocurrido?

C3 Un collar abierto puede contener rubíes, esmeraldas y zafiros. En cada paso podemos realizar cualquiera de las siguientes operaciones: Podemos reemplazar dos rubíes consecutivos por una esmeralda y un zafiro, donde la esmeralda está a la izquierda del zafiro. Podemos reemplazar tres esmeraldas consecutivas por un zafiro y un rubí, donde el zafiro está a la izquierda del rubí. Si encontramos dos zafiros consecutivos, podemos eliminarlos. Si encontramos consecutivamente y en este orden un rubí, una esmeralda y un zafiro, podemos eliminarlos. Además, también podemos invertir todas las operaciones anteriores. Por ejemplo, invirtiendo la 3. podemos poner dos zafiros consecutivos en cualquier posición que queramos. Inicialmente el collar tiene un zafiro (y ninguna otra piedra preciosa). Decide, con prueba, si existe una secuencia finita de pasos tal que al final de esta secuencia el collar contenga una esmeralda (y ninguna otra piedra preciosa). Observación: Un collar es abierto si sus piedras preciosas están en una línea de izquierda a derecha. No se nos permite mover una piedra preciosa de la posición más a la derecha a la más a la izquierda como podríamos hacer si el collar fuera cerrado. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre ThE-dArK-lOrD

G5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC<BC$ y sea $D$ un punto sobre la extensión de $BC$ hacia $C$. El círculo $c_1$, con centro $A$ y radio $AD$, interseca a las rectas $AC,AB$ y $CB$ en los puntos $E,F$ y $G$ respectivamente. El círculo circunscrito $c_2$ del triángulo $AFG$ interseca de nuevo a las rectas $FE,BC,GE$ y $DF$ en los puntos $J,H,H'$ y $J'$ respectivamente. El círculo circunscrito $c_3$ del triángulo $ADE$ interseca de nuevo a las rectas $FE,BC,GE$ y $DF$ en los puntos $I,K,K'$ e $I'$ respectivamente. Demuestra que los cuadriláteros $HIJK$ y $H'I'J'K'$ son cíclicos y que los centros de sus círculos circunscritos coinciden. por Evangelos Psychas, Grecia

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sean $D,E$ los excírculos de los triángulos $AMB,AMC$ respectivamente, hacia $M$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ interseca la línea $BC$ en los puntos $B$ y $F$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ACE$ interseca la línea $BC$ en los puntos $C$ y $G$. Demuestra que $BF=CG$. por Petru Braica, Rumania