3 Para un punto $P = (a,a^2)$ en el plano coordenado, sea $l(P)$ la recta que pasa por $P$ con pendiente $2a$ . Considere el conjunto de triángulos con vértices de la forma $P_1 = (a_1, a_1^2), P_2 = (a_2, a_2^2), P_3 = (a_3, a_3^2)$ , tales que la intersección de las rectas $l(P_1), l(P_2), l(P_3)$ forme un triángulo equilátero $\triangle$ . Halle el lugar geométrico del centro de $\triangle$ cuando $P_1P_2P_3$ recorre todos esos triángulos.

2 Sea $n > 1$ un entero. Halle, con demostración, todas las sucesiones $x_1 , x_2 , \ldots , x_{n-1}$ de enteros positivos con las tres propiedades siguientes: (a). $x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1}$ ; (b). $x_i + x_{n-i} = 2n$ para todo $i = 1, 2, \ldots , n - 1$ ; (c). dados dos índices cualesquiera $i$ y $j$ (no necesariamente distintos) para los cuales $x_i + x_j < 2n$ , existe un índice $k$ tal que $x_i + x_j = x_k$ .

3 Sea $AXYZB$ un pentágono convexo inscrito en un semicírculo de diámetro $AB$ . Denote por $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $Y$ a las rectas $AX$ , $BX$ , $AZ$ , $BZ$ , respectivamente. Demuestre que el ángulo agudo formado por las rectas $PQ$ y $RS$ es la mitad del ángulo $\angle XOZ$ , donde $O$ es el punto medio del segmento $AB$ .

5 Se dice que dos permutaciones $a_1,a_2,\dots,a_{2010}$ y $b_1,b_2,\dots,b_{2010}$ de los números $1,2,\dots,2010$ se intersecan si $a_k=b_k$ para algún valor de $k$ en el rango $1\le k\le 2010$ . Demuestre que existen $1006$ permutaciones de los números $1,2,\dots,2010$ tales que cualquier otra permutación de este tipo está garantizada a intersecar al menos una de estas $1006$ permutaciones.

1 En el triángulo \(ABC\) , sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) . Prolongue \(AD\) hasta cortar la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) en el punto \(P\) . Por los puntos \(B\) y \(P\) , construya una circunferencia que sea tangente al lado \(AC\) en el punto \(E\) . Por los puntos \(C\) y \(P\) , construya una circunferencia que sea tangente al lado \(AB\) en el punto \(F\) . Demuestre que las rectas \(AD\) , \(BE\) y \(CF\) son concurrentes.

6 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^{\circ}$ . Los puntos $D$ y $E$ se encuentran sobre los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente, tales que $\angle ABD = \angle DBC$ y $\angle ACE = \angle ECB$ . Los segmentos $BD$ y $CE$ se cortan en $I$ . Determine si es posible o no que los segmentos $AB$ , $AC$ , $BI$ , $ID$ , $CI$ , $IE$ tengan todos longitudes enteras.

3 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que se cumple lo siguiente: existe un múltiplo $N$ de $n$ cuya representación decimal contiene todos los dígitos excepto $0$ , y para cada $i\in \left \{ 1,2,\ldots,9\right\}$ , se puede eliminar un dígito $i$ de la representación decimal de $N$ , de modo que el número resultante sea de nuevo un múltiplo de $n$ .

4 En el tetraedro $P-ABC$ , $PA$ es perpendicular a la cara $ABC$ . Si $AB=1$ , $BP=2$ , $BC=3$ , $CP=4$ , halle el volumen de $P-ABC$ .

3 En $\vartriangle ABC$ , las bisectrices exteriores de $\angle A$ y $\angle B$ se cortan en un punto $D$ . Demuestre que el circuncentro de $\vartriangle ABD$ y los puntos $C, D$ están sobre la misma recta.

5 Inicialmente, el número $10$ está escrito en la pizarra. En cada movimiento posterior, usted puede (i) borrar el número $1$ y reemplazarlo por un $10$ , o (ii) borrar el número $10$ y reemplazarlo por un $1$ y un $25$ , o (iii) borrar un $25$ y reemplazarlo por dos $10$ . Después de un tiempo, observa que hay exactamente cien copias de $1$ en la pizarra. ¿Cuál es la menor suma posible de todos los números de la pizarra en ese momento?