2 La sucesión ( $a_n$ ) está definida por $a_1 = a_2 = 1$ y $a_{n+2 }= a_{n+1} +a_n +k$ , donde $k$ es un entero positivo. Halle el menor $k$ para el cual $a_{1991}$ y $1991$ no son coprimos.

1 Sea $M=\{A_{1},A_{2},\ldots,A_{5}\}$ un conjunto de cinco puntos en el plano tal que el área de cada triángulo $A_{i}A_{j}A_{k}$ es mayor que 3. Demuestre que existe un triángulo con vértices en $M$ y cuyo área es mayor que 4. Laurentiu Panaitopol

4 Una sucesión $(a_n)$ de enteros positivos satisface $(a_m,a_n) = a_{(m,n)}$ para todos $m,n$ . Demuestre que existe una única sucesión $(b_n)$ de enteros positivos tal que $a_n = \prod_{d|n} b_d$

A1 Los números reales $a$ y $b$ satisfacen $a^3+b^3-6ab=-11$ . Demuestre que $-\frac{7}{3}<a+b<-2$ . Propuesto por Serbia

3 Demuestre la siguiente identidad para todo $ n\in N$ : $ \sum_{j+h=n,j\geq h}\frac{(-1)^h2^{j-h}\binom{j}{h}}{j}=\frac{2}{n}$

2 Sea $A_1A_2A_3A_4$ un tetraedro. Para cualquier permutación $(i, j,k,h)$ de $1,2,3,4$ denote: - $P_i$ – la proyección ortogonal de $A_i$ sobre $A_jA_kA_h$ ; - $B_{ij}$ – el punto medio de la arista $A_iAj$ , - $C_{ij}$ – el punto medio del segmento $P_iP_j$ - $\beta_{ij}$ – el plano $B_{ij}P_hP_k$ - $\delta_{ij}$ – el plano $B_{ij}P_iP_j$ - $\alpha_{ij}$ – el plano que pasa por $C_{ij}$ y es ortogonal a $A_kA_h$ - $\gamma_{ij}$ – el plano que pasa por $C_{ij}$ y es ortogonal a $A_iA_j$ . Demuestre que si los puntos $P_i$ no están en un plano, entonces los siguientes conjuntos de planos son concurrentes: (a) $\alpha_{ij}$ , (b) $\beta_{ij}$ , (c) $\gamma_{ij}$ , (d) $\delta_{ij}$ .

1 Sea $f : R^+ \to R$ una función estrictamente creciente tal que $f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+ f(y)}{2}$ para todos $x,y > 0$ . Demuestre que la sucesión $a_n = f(n)$ ( $n \in N$ ) no contiene una progresión aritmética infinita.

6 Los puntos $M$ y $N$ están marcados sobre la recta que contiene al lado $AC$ del triángulo $ABC$ de modo que $MA = AB$ y $NC = CB$ (el orden de los puntos sobre la recta: $M, A, C, N$ ) . Demuestre que el centro del círculo inscrito en el triángulo $ABC$ se encuentra sobre la cuerda común de los círculos circunscritos a los triángulos $MCB$ y $NAB$ .

2 Sean $a,b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Entonces demuestra que $S\le\frac{a^2+b^2+c^2}{6}$, donde $S$ es el área del triángulo.

2: Sea $n$ un entero positivo. Halle el número de polinomios $P(x)$ con coeficientes en $\{0, 1, 2, 3\}$ para los cuales $P(2) = n$ .