2 Resuelva el sistema de ecuaciones $x+y+z=\pi$ $\tan x\tan z=2$ $\tan y\tan z=18$

4 Demuestre la identidad $\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\binom{n}{k} =\binom{n}{2} 2^{n-1}$ para todo $n=2,3,4,...$

5 Las rectas determinadas por los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ se intersecan en el punto $P$ . Demuestre que $\alpha +\gamma =\beta +\delta$ si y solo si $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ , donde $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ son las medidas de los ángulos internos de los vértices $A, B, C, D$ respectivamente.

3 Demuestre que la suma $S=5+5^2+5^3+…+5^{2016}$ es divisible por $31$

2 Demuestre que para todo real positivo $a,b,c$ se cumple la desigualdad: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1 \geq \frac{2\sqrt2}{3} (\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}})$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

5 Una esfera de radio $R$ es cortada por dos planos paralelos, tales que el centro de la esfera está fuera de la región determinada por estos planos. Sean $S_{1}$ y $S_{2}$ las áreas de las intersecciones, y $d$ la distancia entre estos planos. Halle el área de la intersección de la esfera con el plano paralelo a estos dos planos, equidistante de ellos.

4 Demuestre que: $\cos36-\sin18=\frac{1}{2}$

3 $n$ equipos participaron en un torneo de baloncesto. Cada equipo jugó exactamente un partido contra cada equipo. No hubo empates. Si al final del torneo el $i$ - ésimo equipo tiene $x_{i}$ victorias y $y_{i}$ derrotas $(1\leq i \leq n)$ , demuestre que: $\sum_{i=1}^{n} {x_{i}}^2=\sum_{i=1}^{n} {y_{i}}^2$

3 La distancia de $A$ a $B$ es $408km$ . Desde $A$ en dirección a $B$ se mueve un motociclista, y desde $B$ en dirección a $A$ se mueve un ciclista. Si el motociclista comienza a moverse $2$ horas antes que el ciclista, entonces se encontrarán $7$ horas después de que el ciclista comience a moverse. Si el ciclista comienza a moverse $2$ horas antes que el motociclista, entonces se encontrarán $8$ horas después de que el motociclista comience a moverse. Halle la velocidad del motociclista y del ciclista si sabemos que sus velocidades fueron constantes todo el tiempo.

4 Sea $f: (0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ monótona decreciente. Si $f(2a^2+a+1)<f(3a^2-4a+1)$ halle el intervalo de $a$ .