Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto de $BC$ tal que $AD$ biseca al ángulo $\angle BAC$ . Las tangentes comunes de las circunferencias $(BAD)$ y $(CAD)$ se cortan en el punto $A'$ . Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera análoga. Demuestre que $A'$ , $B'$ , $C'$ son colineales.

2012.3 A partir de un cuadrilátero de papel como el de la figura, tienes que recortar un nuevo cuadrilátero cuya área sea igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Solo puedes doblar una o más veces y cortar por algunas de las líneas de los dobleces. Describe los dobleces y cortes y justifica que el área es la mitad. https://2.bp.blogspot.com/-btvafZuTvlk/XNY8nba0BmI/AAAAAAAAKLo/nm4c21A1hAIK3PKleEwt6F9cd6zv4XffwCK4BGAYYCw/s400/may%2B2012%2Bl1.png

2013.3 Sea $ABCD$ un cuadrado de papel de lado $10$ y $P$ un punto sobre el lado $BC$. Al doblar el papel a lo largo de la línea $AP$, el punto $B$ determina el punto $Q$, como se ve en la figura. La línea $PQ$ corta al lado $CD$ en $R$. Calcula el perímetro del triángulo $PCR$.

A3 Sea $S$ un conjunto finito, y sea $\mathcal{A}$ el conjunto de todas las funciones de $S$ en $S$ . Sea $f$ un elemento de $\mathcal{A}$ , y sea $T=f(S)$ la imagen de $S$ bajo $f$ . Suponga que $f\circ g\circ f\ne g\circ f\circ g$ para toda $g$ en $\mathcal{A}$ con $g\ne f$ . Demuestre que $f(T)=T$ .

4 Sean $p$ y $q$ números primos. Demuestre que $p^2+q^2+2020$ es compuesto.

2 Un número natural $n$ está escrito en la pizarra. Ben juega un juego de la siguiente manera: en cada paso borra el número escrito en la pizarra y escribe el número que es tres unidades mayor o dos unidades menor que el número que ha borrado. ¿Es posible que para todo valor de $n$ , en algún momento, llegue al número $2020$ ?

2020.3 Una hormiga despistada hace la siguiente ruta: partiendo del punto \( A \) va \( 1\) cm al norte, luego \( 2\) cm al este, luego \( 3\) cm al sur, luego \( 4\) cm al oeste, inmediatamente \( 5\) cm al norte, continúa \( 6\) cm al este, y así sucesivamente, finalmente \( 41\) cm al norte y termina en el punto \( B \). Calcula la distancia entre \( A \) y \( B \) (en línea recta).

2021.1 En un bosque hay $5$ árboles $A, B, C, D, E$ que están en ese orden sobre una línea recta. En el punto medio de $AB$ hay una margarita, en el punto medio de $BC$ hay un rosal, en el punto medio de $CD$ hay un jazmín, y en el punto medio de $DE$ hay un clavel. La distancia entre $A$ y $E$ es de $28$ m; la distancia entre la margarita y el clavel es de $20$ m. Calcula la distancia entre el rosal y el jazmín.

2017.3 Sea $ABCD$ un rombo con lados $AB = BC = CD = DA = 13$. Sobre el lado $AB$ construye el rombo $BAFE$ fuera de $ABCD$ y tal que el lado $AF$ sea paralelo a la diagonal $BD$ de $ABCD$. Si el área de $BAFE$ es igual a $65$, calcula el área de $ABCD$.

2014.4 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo e isósceles, con $\angle C = 90^o$. Sea $M$ el punto medio de $AB$ y $N$ el punto medio de $AC$. Sea $P$ tal que $MNP$ es un triángulo equilátero con $P$ dentro del cuadrilátero $MBCN$. Calcula la medida de $\angle CAP$.