3 ¿Es posible llenar el diagrama siguiente con los diecinueve enteros entre $11$ y $29$ , de modo que las quince sumas sobre las flechas sean todas iguales? Cada número debe colocarse exactamente una vez.

5 En el diagrama siguiente, tres circunferencias de radio $2$ son tangentes internamente a una circunferencia $\Omega$ con centro en $O$ de radio $11,$ y tres cuerdas de $\Omega$ son tangentes a dos de las tres circunferencias. Dado que $O$ está dentro del triángulo formado por las tres cuerdas y dos de las cuerdas tienen longitud $4\sqrt{30},$ calcule la longitud de la tercera cuerda.

2009.4 A, B y C son puntos de una circunferencia $\Omega$ de radio $1$. Se dibujan tres circunferencias en el exterior del triángulo $ABC$ y tangentes internamente a $\Omega$. Estas tres circunferencias son también tangentes a $BC, CA$ y $AB$ en sus respectivos puntos medios $D, E$ y $F$. Si los radios de dos de estas tres circunferencias son $2/3$ y $2/ 11$ , ¿cuál es el radio de la tercera circunferencia?

2011.1 Una figura en forma de cruz está formada por cinco cuadrados unitarios. Determine cuál tiene mayor área: la circunferencia que toca las ocho esquinas exteriores de esta figura, como se muestra en el diagrama de abajo a la izquierda, o el cuadrado que toca las mismas ocho esquinas, como se muestra en el diagrama de abajo a la derecha.

2012.1 Un césped rectangular está cubierto uniformemente por hierba de altura constante. La segadora de Andy corta una franja de hierba de $1$ metro de ancho. Él corta el césped usando el siguiente patrón. Primero corta la hierba del "anillo" rectangular $A_1$ de $1$ metro de ancho que rodea el borde del césped, luego corta el anillo de $1$ metro de ancho $A_2$ dentro del primer anillo, luego el anillo de $1$ metro de ancho $A_3$ dentro de $A_2$ , y así sucesivamente hasta que todo el césped queda cortado. Andy comienza con la bolsa de hierba vacía. Después de cortar los primeros tres anillos, la bolsa de hierba de su segadora está exactamente llena, así que la vacía. Después de cortar los siguientes cuatro anillos, la bolsa de hierba está exactamente llena de nuevo. Halle, en metros, todos los valores posibles del perímetro del césped.

5 Georg tiene un tablero de juego circular con 100 casillas etiquetadas $1, 2, . . . , 100$. Georg elige tres números $a, b, c$ entre los números $1, 2, . . . , 99$. Los números no tienen por qué ser distintos. Inicialmente hay una ficha en la casilla etiquetada $100$. Primero, Georg mueve la ficha $a$ casillas hacia adelante $33$ veces y pone un caramelo en cada una de las casillas en las que cae la ficha. Luego mueve la ficha $b$ casillas hacia adelante $33$ veces y pone un caramelo en cada una de las casillas en las que cae la ficha. Finalmente, mueve la ficha $c$ casillas hacia adelante $33$ veces y pone un caramelo en cada una de las casillas en las que cae la ficha. Así pone un total de $99$ caramelos en el tablero. Georg gana todos los caramelos de la casilla número $1$. ¿Cuántos caramelos puede ganar Georg, como máximo?

2 Los números $1, 2, 3, . . . , 16$ deben colocarse en las $16$ casillas de tal manera que la suma de los números en cada una de las cuatro filas y columnas sea la misma. ¿Cuál es la menor suma posible de los cuatro números de las casillas de las esquinas?

2 Calcule el número de formas de llenar cada una de las $8$ celdas exteriores de una cuadrícula de $3 \times 3$ con exactamente uno de los números $1, 2,$ y $3$ de modo que la fila superior, la fila inferior, la columna izquierda y la columna derecha no contengan números repetidos.

10 Srinivas elige una dirección uniformemente aleatoria y dispara un láser que parte del punto $(0,1)$ en la dirección elegida. El láser rebota en la gráfica de $y = |x|$ cada vez que entra en contacto con ella. Calcule el número esperado de veces que el láser entra en contacto con la gráfica de $y = |x|.$ (Cuando un láser rebota, el ángulo con el que llega es el reflejo del ángulo con el que parte. Vea el diagrama siguiente.)

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