3 Para cada entero $n\ge 1,$ calcule el menor valor posible de \[\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{a_k}{k}\right\rfloor\] sobre todas las permutaciones $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{1,\dots,n\}.$ Propuesto por Shahjalal Shohag, Bangladesh

1 Demuestre que el polinomio $x^4+3x^3+6x^2+9x+12$ no puede escribirse como el producto de 2 polinomios de grado 2 con coeficientes enteros.

2 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ sobre la prolongación del rayo $AB$ más allá de $B.$ La circunferencia circunscrita de $ACD$ corta de nuevo al segmento $PD$ en $Q.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ corta al segmento $PC$ en $R.$ Demuestre que las rectas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.

3 Considere una retícula cuadrada unitaria de $100\times 100$ , $\textbf{L}$ (por lo tanto $\textbf{L}$ tiene $10000$ puntos). Suponga que $\mathcal{F}$ es un conjunto de polígonos tal que todos los vértices de los polígonos de $\mathcal{F}$ están en $\textbf{L}$ y todo punto de $\textbf{L}$ es el vértice de exactamente un polígono de $\mathcal{F}.$ Halle la máxima suma posible de las áreas de los polígonos de $\mathcal{F}.$ Michael Ren y Ankan Bhattacharya, USA

1 Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales el polinomio $1+X+X^2+\dots+X^n$ es el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes reales no negativos.

1 Sea $n$ un entero positivo. Se da un subconjunto $A$ de $\{0,1,...,5^n\}$ con $4n+2$ elementos. Demuestre que existen tres elementos $a<b<c$ de $A$ tales que $c+2a>3b$ . Propuesto por Dominik Burek y Tomasz Ciesla, Poland

3 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.

2 Halle todos los enteros $n\geq 3$ para los cuales todo $n$ - gono convexo equilátero de lado $1$ contiene un triángulo equilátero de lado $1$ . (Aquí, los polígonos contienen sus fronteras.)

2 Dados dos enteros positivos $n$ y $m$ y una función $f : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \left\{0,1\right\}$ con la propiedad de que \begin{align*} f\left(i, j\right) = f\left(i+n, j\right) = f\left(i, j+m\right) \qquad \text{for all } \left(i, j\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} . \end{align*} Sea $\left[k\right] = \left\{1,2,\ldots,k\right\}$ para cada entero positivo $k$ . Sea $a$ el número de todos los $\left(i, j\right) \in \left[n\right] \times \left[m\right]$ que satisfacen \begin{align*} f\left(i, j\right) = f\left(i+1, j\right) = f\left(i, j+1\right) . \end{align*} Sea $b$ el número de todos los $\left(i, j\right) \in \left[n\right] \times \left[m\right]$ que satisfacen \begin{align*} f\left(i, j\right) = f\left(i-1, j\right) = f\left(i, j-1\right) . \end{align*} Demuestre que $a = b$ . darij

2 Halle todos los enteros positivos $n\geq1$ tales que existe un par $(a,b)$ de enteros positivos, tal que $a^2+b+3$ no es divisible por el cubo de ningún primo, y $$n=\frac{ab+3b+8}{a^2+b+3}.$$