4 Halle todos los triángulos cuyas longitudes de los lados son enteros consecutivos, y uno de cuyos ángulos es el doble de otro.

1 En una competición deportiva se entregaron un total de $m$ medallas a lo largo de $n$ días. El primer día se entregaron una medalla y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes. El segundo día se entregaron dos medallas y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes, y así sucesivamente. El último día se entregaron las $n$ medallas restantes. ¿Cuántos días duró la competición, y cuál fue el número total de medallas ?

2 Halle el entero representado por $\left[ \sum_{n=1}^{10^9} n^{-2/3} \right] $ . Aquí $[x]$ denota el mayor entero menor o igual que $x.$ Amir

3 Sea $G$ un conjunto no vacío de funciones no constantes $f$ tales que $f(x)=ax + b$ (donde $a$ y $b$ son dos reales) y que satisfacen las siguientes condiciones: 1) si $f \in G$ y $g \in G$ entonces $gof \in G$ , 2) si $f \in G$ entonces $f^ {-1} \in G$ , 3) para toda $f \in G$ existe $x_f \in \mathbb{R}$ tal que $f(x_f)=x_f$ . Demuestre que existe un real $k$ tal que para toda $f \in G$ tenemos $f(k)=k$

4 Sea $ ABCDE$ un pentágono convexo tal que \[ \angle BAC = \angle CAD = \angle DAE\qquad \text{and}\qquad \angle ABC = \angle ACD = \angle ADE. \] Las diagonales $BD$ y $CE$ se cortan en $P$ . Demuestre que la recta $AP$ biseca al lado $CD$ . Propuesto por Zuming Feng, USA

1 Demuestre que la ecuación $3y^2 = x^4 + x$ no tiene soluciones en enteros positivos. Sung-yoon

2 Sea $A$ un conjunto de enteros positivos tal que a) si $a\in A$ , entonces todos los divisores positivos de $a$ también están en $A$ ; b) si $a,b\in A$ , con $1<a<b$ , entonces $1+ab \in A$ . Demuestre que si $A$ tiene al menos 3 elementos, entonces $A$ es el conjunto de todos los enteros positivos. Valentin

3 Los números reales $a_1,a_2,...,a_{100}$ satisfacen la relación : $a_1^2+ a_2^2 + \cdots +a_{100}^2 + ( a_1+a_2 + \cdots + a_{100})^2 = 101$ . Demuestre que $|a_k| \leq 10$ para todo $k \in \{1,2,...,100\}$

4 Considere un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , y sea $S$ la intersección de $AC$ y $BD$ . Sean $E$ y $F$ las proyecciones ortogonales de $S$ sobre $AB$ y $CD$ respectivamente. Demuestre que la mediatriz del segmento $EF$ corta a los segmentos $AD$ y $BC$ en sus puntos medios.

1 Halle todas las funciones $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ que satisfacen : $(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ para todo $x,y \in \mathbb R$